Monotonieverhalten, Grenzwert und Wertebereich einer Funktion

Question

Hallo Lounger,

ich brauche Hilfe mit ausführlichen Erklärungen zu folgender Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion
\( h(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, \quad x \in \mathbb{R} \)
(a) Bestimmen Sie die Ableitung \( h^{\prime}(x) \).
(b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \( h(x) \).
(c) Bestimmen Sie die Grenzwerte \( \lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} h(x) \).
(d) Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion \( h(x) \).

zu a) habe ich

\(h'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}^3}\)

Bei b) beginnen die Probleme. Monotonieverhalten kenne ich durch Erstellen einer Monotonietabelle, nachdem die Extremstellen berechnet wurden, die diese Funktion aber nicht hat.

Die Grenzwerte sind 1 bzw. -1, aber wie komme ich darauf und wie beschreibe ich dann den Wertebereich?

Gruß, Silvia

Comments

Wenn die Ableitung wie hier immer positiv ist, ist die Funktion streng monoton steigend.

Zum Grenzwert: klammere x² in der Wurzel aus, zerlege in Produkt von zwei Wurzeln und kürze. Beachte dass Wurzel aus x² der Betrag von x ist.

Wertebereich ist einfach da monoton steigend und die Funktionswerte von f zwischen -1 und 1 liegen.

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Vor der Grenzwertbestimmung kann man die Symmetrie untersuchen, sowie den y-Achsenabschnitt.

Für x > 0 kann man dann x^2 unter der Wurzel ausklammern und dann kannst du teilweises Wurzelziehen anwenden und x^2 als x als Faktor vor die Wurzel holen und dann noch x im Zähler und Nenner kürzen.

Jetzt kannst du x gegen Unendlich streben lassen und siehst recht einfach den Grenzwert.

Dann solltest du auch die Wertemenge (Bildmenge) als Intervall angeben können. Beachte dabei nur das die Grenzwerte nicht zur Menge gehören.

Bei Fragen melde dich gerne nochmals.