Verstehe ich deine Frage, richtig, dass du dich fragst, ob gilt (in allgemeinerer Notation):
Wenn \(\mathfrak{k}\) ein Körper ist, dann ist \(\mathfrak{k}(a+b)\) isomorph zu einem Unterkörper von \(\mathfrak{k}(a,b)\)?
Falls das deine Frage ist, dann ja. Der Beweis ist denkbar einfach:
Der Körper \(\mathfrak{k}(a,b)\) enthält das Element \(a+b\), damit ist automatisch:
$$\mathfrak{k}(a+b) \cong \bigcap\limits_{\substack{K\stackrel{\text{subfield}}{\subseteq} \mathfrak{k}(a,b), \\ a+b\in K}}K. $$
Das ist, jenachdem wen du fragst, die Definition von \(\mathfrak{k}(a+b)\). Was da etwas frickelig ist zu zeigen, dass diese "Schnittdefinition" unabhängig vom ambient field (in diesem Fall \(\mathfrak{k}(a,b)\)), wo deine Elemente \(x\) und \(y\) gemeinsam "leben", ist. Aber wenn das klar ist, ist nicht mehr zu tun.
Wenn du das möchtest, eine Einbettung von \(\mathfrak{k}(a+b)\) kannst du alternativ auch sehr einfach angeben:
Du nimmst dir den "Polynomring" \(\mathfrak{k}[a+b]\) und definierst jetzt den Ringhomomorphismus\(\Psi:\mathfrak{k}[a+b]\to\mathfrak{k}(a,b)\) eindeutig durch \(\Psi(a+b)=a+b\). Dieser Ringhomomorphismus ist klar injektiv, da sie die Verknüpfung der beiden Einbettungen \(\mathfrak{k}[a+b]\to\mathfrak{k}[a,b]\to\mathfrak{k}(a,b)\) ist. In Worten: Ein Polynomieller Ausdruck in der einen Variable \((a+b)\) ist ein polynomieller Ausdruck in den zwei Variablen \((a,b)\) und da \(\mathfrak{k}[a,b]\) ein Integritätsbereich ist, ist es ein Subring des eigenen Quotientenkörpers \(\mathfrak{k}(a,b)\).
Folglich setzt sich dieser Ringhomormorphismus eindeutig auf einen Ringhomomorphismus des Quotientenkörpers fort, \(\widehat{\Psi}:\mathfrak{k}(a+b)\to\mathfrak{k}(a,b)\). Ringhomomorphismen zwischen Körpern sind immer injektiv, \(\widehat{\Psi}\) ist also eine Einbettung und damit \(\mathfrak{k}(a+b)\) isomorph zu einem Unterkörper.
Das alles um nicht viel zu beschreiben, denn die Abbildung macht eigentlich gar nichts.
