Schubfachprinzip Cummings Beweis

Question

Aufgabe:

Aus Jay Cummings: „Proofs“; homepage: https://longformmath.com/proofs-book/; S. 32, Aufgabe 1.8.:

Problem/Ansatz:

Für jedes n habe ich 2n Zahlen von denen ich n+1 auswähle und auf m „Schubfächer“ verteilen soll. m=n-1 für gerade Zahlen und m=n für ungerade Zahlen.

Zunächst bestimme ich, daß jede ungerade Zahl ein eigenes Schubfach haben soll. Die geraden Zahlen verteile ich nach der Formel n=m+k auf die m Schubfächer. Mindestens ein Schubfach enthält die Zahlen m und m+1. ∎

Frage:

Kann ich das so formulieren?

Comments

Ist m.E. nicht stringent wegen unterschiedlichen Anzahlen von Schubfächern bei gerade/ungerade und auch das n=m+k ist etwas dubios.

Nebenbei: mit der eingebauten Texterkennung umgehst Du das Einstellen von kopierten Buchseiten. Das Bild kann man danach löschen:

Exercise 1.8. Prove that if one chooses \( n+1 \) numbers from \( \{1,2,3, \ldots, 2 n\} \), it is guaranteed that two of the numbers they chose are consecutive. Also, before your proof, write down an example of 4 numbers from \( \{1,2,3,4,5,6\} \) and locate two of them which are consecutive. Then, repeat for 5 numbers from \( \{1,2, \ldots, 8\} \) and 6 numbers from \( \{1,2, \ldots, 10\} \).

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Ja. Die unterschiedliche Anzahl Schubfächer ist natürlich falsch.

Was ich sagen wollte, ist das m die Menge der ungeraden ganzen Zahlen ist die kleiner oder gleich 2n sind. Für n=3 also: 1, 3 und 5, für n=4: 1,3,5 und 7.

Wie kann ich das besser formulieren?

m=2n-1?

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Definiere die Schubfächer anders oder nutze Vollständige Induktion.

Answer 1

Steck je zwei aufeinanderfolgende Zahlen in ein Schubfach. Dann hast du \( n \) Fächer, aus denen du \( n+1 \) Zahlen auswählen musst. Eines muss dann am Ende leer sein.