Berechne Integral mit Riemann Integral

Question

Berechne ∫_a^b x^m dx, wobei a < b und m ≠ -1, durch Interpretation als Grenzwert einer Riemannschen Summe.

Lösung

Wir zerlegen das Intervall [a,b] in n gleich große Teilintervalle.

Δx = (b - a) / n

Als rechte Stützstellen wählen wir

x_i = a + iΔx = a + i(b - a)/n

Dann ist die zugehörige Riemannsumme

∑_i=1ⁿ f(x_i)Δx = ∑_i=1ⁿ (a + i(b - a)/n)^m · (b - a)/n

Also gilt

∫_a^b x^m dx = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ (a + i(b - a)/n)^m · (b - a)/n Wie könnte man hier genau weiterverfahren um den Grenzwert zu bestimmen?

Comments

Mit Deinem Ansatz sehe ich kein Weiterkommen. Versuche es mal mit den Intervall-Punkten

$$x_i:=a\left(\frac{b}{a}\right)^{i/n}, i=0,1,2, \ldots n$$

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Wird aber problematisch, wenn \(a=0\) oder \(b=0\) ist.

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Ja. Ich hatte tatsächlich nur an den Fall 0<a<b gedacht, auch wegen der Wurzeln.