Eigenmanns Aufgabe #120/1: wie vorgehen?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 120/1 von Eigenmann

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.3.120, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 18.

Problem/Ansatz:

Heron >>> Gesamtfläche = 324 cm²

Eigenmann: schraffierte Fläche = 108 cm²

Offensichtlich ist das immer so (ein Drittel vom Gesammten) bei gleicher Teilung der Seiten im Verhältnis 1 : 2 . Ich habe einen rechnerisch einfachen Versuch mit einem gleichseitigen Dreieck gemacht und die Bestätigung bekommen.

Dann habe ich bei der vorliegenden Aufgabe die drei leeren Flächen berechnet (vorher mühsame Bestimmung der drei Winkel des großen Dreiecks) und überraschenderweise (jede Seite hat eine andere Länge) für alle das gleiche Ergebnis bekommen: 72 cm² .

Diese Tatsache sollte m.E. bekannt sein, so dass wir den Beweis nicht zu machen brauchen. Trotzdem, ich würde ihn gerne erfahren. Hat ihn jemand von Euch parat?

Übrigens: Bei Teilung 1 : 1 ist die schraffierte Fläche ein Viertel der Gesamtfläche (auch rechnerisch einfacher Versuch mit einem gleichseitigen Dreieck)

Comments

Du hast richtig bestimmt:

Bei Teilung 1:2 hat das kleine Dreieck 1/3 der Gesamtfläche,
bei Teilung 1:1 hat das kleine Dreieck 1/4 der Gesamtfläche.

Allgemein gilt : Bei Teilung1:k hat das kleine Dreieck den Anteil \( \frac{3}{4}·(\frac{k-1}{k+1})^2+\frac{1}{4} \) von der Gesamtfläche.

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Anmerkung : Der Anteil lässt sich auch (womöglich einfacher) schreiben in der Form 1 - 3k/(1+k)^2

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1 - 3 * 1/(k + 1) * k/(k + 1) ergibt in der tat 1 - 3·k/(k + 1)^2

Das setzt aber voraus, dass die Teilungsverhältnisse der Strecken AB, BC und CA tatsächlich gleich sind.

Und man beachte, dass das Teilungsverhältnis von AB nicht das gleiche ist wie von BA.

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Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

[spoiler]

\(\displaystyle 108\, \text{cm}^2 \)

[/spoiler]

(eingangs zitiertes Werk, S. 57)

Answer 1

Geschickter ist es, wenn wir die Flächen der 3 kleinen Dreiecke als aus dem großen Dreieck berechnen. Da sich die Fläche des großen Dreiecks berechnen lässt aus

Ag = 1/2 * a * b * sin(γ) = 324

und die Flächen von Dreiecken mit gleichem Winkel γ proportional zu Ihren anliegenden Seiten (a und b) sind, ergeben sich für die kleinen Dreiecke

A1 = 20/30 * 17/51 * Ag = 2/3 * 1/3 * Ag = 2/9 * Ag
A2 = 34/51 * 9/27 * Ag = 2/3 * 1/3 * Ag = 2/9 * Ag
A3 = 18/27 * 10/30 * Ag = 2/3 * 1/3 * Ag = 2/9 * Ag

F = Ag - A1 - A2 - A3 = Ag - 2/9 * Ag - 2/9 * Ag - 2/9 * Ag = 3/9 * Ag = 1/3 * Ag = 1/3 * 324 = 108 cm²

So könntest du auf jeder Seite auch komplett unterschiedliche Teilungsverhältnisse haben.

Comments

Das war allerdings gar nicht die Frage.

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Ich habe es für beliebige Teilungsverhältnisse auf den 3 Seiten vorgemacht und nicht für ein festes Teilungsverhältnis.

Für 3 beliebige Teilungsverhältnisse 1:a ; 1/b und 1/c ist das also einfach:

1 - 1/(a + 1) * b/(b + 1) - 1/(b + 1) * c/(c + 1) - 1/(c + 1) * a/(a + 1)
= (a·b·c + 1)/((a + 1)·(b + 1)·(c + 1))

Für das gleiche Teilungsverhältnis 1:k ergibt sich dann einfach

= (k^3 + 1) / (k + 1)^3

Was mit der weiter oben genannten Formel im Kommentar übereinstimmt.

Mit einem noch genaueren k = 2 vereinfacht sich es also noch weiter zu

= (2^3 + 1) / (2 + 1)^3
= 1/3

Aber am geschicktesten ist es, das Ganze viel allgemeiner zu betrachten. Also einfach mal über den Tellerand hinausblicken auch wenn es nur für k = 1:1 und für k = 1:2 gefragt war.