Eigenmanns Aufgabe #129/1: wie beginnen?

Question

Aufgabe:

Eigenmanns Aufgabe #129/1: wie beginnen?

Problem/Ansatz:

Ist meine eingezeichnete Linie nur zufällig so möglich, oder war das Eigenmanns Absicht? Was meint Ihr?

Comments

Für den schwarz gezeichneten Teil gibt es viele Möglichkeiten, und nur eine davon enthält den rot gezeichneten Teil.

Abszisse: Winkel im Trapez unten links (alpha)

Ordinate: Winkel im Trapez unten rechts (beta)

(oder umgekehrt, da selbstinvers)

Bei genau diesen Winkelkombinationen lassen sich Seitenlängen b und d (rechts und links) finden, so dass b + d = 24 und c (oben) parallel a (unten).

Dabei muss die Seitenlänge d und b im Intervall von 9 bis 15 liegen, damit die obere Seite, wie auf der Skizze in der Aufgabe, nicht überhängend ist.

Bei einer Seitenlänge von d = b = 12, entsprechend einem Winkel von alpha = beta = 60°, wird das Trapez symmetrisch, und der Inkreisradius maximal:

Answer 1

Zufall. Er schreibt ja auch, dass seine Zeichnungen nicht maßgetreu sind.

x = 6 cm.

Ein Trapez-Tangentenviereck ist ein spezielles Trapez, das einen Inkreis besitzt, d.h., alle vier Seiten berühren einen gemeinsamen Kreis. Es erfüllt sowohl die Trapezbedingung (zwei Seiten parallel) als auch die Eigenschaft des Tangentenvierecks, dass die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten gleich ist.

Answer 2

Man sollte nie versuchen, etwas aus einer Zeichnung anzunehmen, was nicht angegeben ist.

In der Skizze von Eigenmann ist die Strecke 3x nicht 3 mal so lang wie die Strecke x.

Man hat ein Tangentenviereck, in dem der Satz von Pitot gilt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Pitot

a + c = b + d

Der Umfang ist:

U = a + b + c + d = 2(a + c) = 2(3x + x) = 8x = 48 cm.

x = 6 cm

Comments

Ich habe mal zwei mögliche Trapeze gezeichnet.

Dass der Radius am Berührpunkt einen rechten Winkel bildet, ist ja kein Zufall. Nur dass das eine Gerade durch den gegenüberliegenden Punkt wäre, ist ein Zufall.