Konfidenzintervalle für Erwartungwert und Varianz

Question

Aufgabe:

Um Aufschluß über den normalverteilt vorausgesetzten Wasserverbrauch \( X \) im Kochwaschprogramm bei einem neu entwickelten Waschmaschinenmodell zu gewinnen, wurden 10 Probeläufe durchgeführt. Dabei wurden insgesamt 1024 Liter Wasser verbraucht.

(a) Für die Standardabweichung von \( X \) wird aufgrund von Erfahrungen mit den bisherigen Modellen desselben Herstellers der Wert \( \sigma=0,7 \) als bekannt angenommen. Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für \( \mu \) zum Konfidenzniveau 0,99 . Wie groß muß der Stichprobenumfang gewählt werden, wenn das Konfidenzintervall zum gleichen Konfidenzniveau und gleicher Streuung halb so groß sein soll?

(b) Nun wird die Standardabweichung von \( X \) als unbekannt vorausgesetzt. Aus den Werten der Probeläufe ist die Summe der Abstandsquadrate vom arithmetischen Mittelwert \( \sum \limits_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=6,25 \) bekannt. Welcher Wert wird nun als Schätzwert für \( \sigma \) angenommen? Bestimmen Sie auch für diesen Fall das Konfidenzintervall für \( \mu \) und \( \sigma^{2} \) zum Konfidenzniveau 0,99.

Problem/Ansatz:

Die Lösungen werden angegeben als:

(a) \( 101,93 \leq \mu \leq 103,07 \quad , \quad n = 40 \)

(b) \( \hat{\sigma}=0,69444 \) wird als Schätzwert für \( \sigma \) verwendet.

\( \begin{array}{l} 101.93 \leq \mu \leq 103.07 \\\ 0.2535 \leq \sigma^{2} \leq 3.6127 \end{array} \)

Bis auf die Antwort n = 40 komme ich wieder auf andere Werte. Ich denke, die Lösungen sind falsch.

Begründung ohne Rechnung: das KI bei a) ist nicht symmetrisch, das KI für μ unter b) ist dasselbe wie unter a) was wohl kaum sein kann und  \( \hat{\sigma}=\sqrt{0,69444}=0,833 \) ist falsch angegeben (Schreibfehler?).

Comments

... falsch angegeben (Schreibfehler?)

Eher Rundungsdifferenz.

\( 0,833 \cdot 0,833 \neq 0,69444 \)

aber

\( \displaystyle \underbrace{\vphantom{\sqrt{\frac{1}{1}}}\frac{5}{6}}_{\vphantom{\sqrt{\mid 1,0}}\approx \, 0,833} = \underbrace{\sqrt{\frac{25}{36}}}_{\approx \, \sqrt{\vphantom{\mid}0,69444}} \)

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In der Lösung steht 0,69444 was das Quadrat ist.

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Könnte es sein, dass dort \( \sigma^2 \) steht?

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Nope, alles exakt so

Answer 1

a)

\( \displaystyle 102,4 \pm 2,5758 \cdot \frac{0,7}{\sqrt{10}} \approx \left[101,83 \; , \; 102,97 \right] \)

\( \displaystyle 102,4 \pm 2,5758 \cdot \frac{0,7}{\sqrt{40}} \approx \left[102,11 \; , \; 102,69 \right] \)

b)

\( \displaystyle s^2 = \frac{1}{10-1} \cdot 6,25 = \frac{25}{36} \quad \Longrightarrow \quad s = \frac{5}{6}\)

\( \displaystyle 102,4 \pm 3,25 \cdot \frac{5/6}{\sqrt{10}} \approx \left[101,54 \; , \; 103,26 \right] \)

\( \displaystyle P\left(\underbrace{\frac{(10-1) \, s^2}{23,6}}_{\approx \, 0,265} \leq \sigma^2 \leq \underbrace{\frac{(10-1) \, s^2}{1,73}}_{\approx \,3,613} \right) \approx 0,99 \)

Comments

Danke, auf die Werte kam ich auch. Doof wenn man sich nicht auf die Lösungen verlassen kann.

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Doof wenn man sich nicht auf die Lösungen verlassen kann.

Man sollte, mit gebotenem Takt, den Musterlösungsschreiber (oder zumindest -verteiler) darauf hinweisen, dass seine Zahlen Banane sind. Sonst wird der nächste Jahrgang wieder damit behelligt.

Verwendete Zahlen in meiner Lösung:

2,5758 steht für das 99,5-%-Quantil der Normalverteilung

3,25 steht für 99,5-%-Quantil der t-Verteilung mit 9 Freiheitsgraden *)

23,6 steht für 99,5-%-Quantil der Chiquadrat-Verteilung mit 9 Freiheitsgraden **)

1,73 steht für 0,5-%-Quantil der Chiquadrat-Verteilung mit 9 Freiheitsgraden ***)

*)

Als Lösung der Gleichung

\(\displaystyle \int \limits_{-\infty}^{b} \; \frac{\Gamma\left(\frac{9+1}{2}\right)}{\sqrt{9 \pi} \; \Gamma\left(\frac{9}{2}\right) \sqrt{\left(1+\frac{t^{2}}{9}\right)^{9+1}}} \; \text{d}t = \frac{995}{1000} \)

nach b (Wilrich/Henning: Formeln und Tabellen der angewandten mathematischen Statistik. Springer, 1987, S. 41).

**)

Als Lösung der Gleichung

\(\displaystyle \int \limits_{0}^{b} \; \frac{x^{9/2-1} \; e^{-x/2}}{2^{9 / 2} \; \Gamma\left(\frac{9}{2}\right)} \; \text{d}x =\frac{995}{1000} \)

nach b (Wilrich/Henning, S. 38).

***)

siehe eins drüber (Der Tabellenwert auf S. 460 ist falsch; man hat in der "dritten, völlig neu bearbeiteten Auflage" eine Tabelle von 1950 abgedruckt, die sich ihrerseits auf eine Tabelle von Pearson 1922 stützte, und dabei falsch gerundet. Die Lösung ist numerisch nicht einfach. Den Namen des Zweitautors von 1950 hat man 1987 auch falsch abgeschrieben.)

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Leider sind Fehler keine Ausnahme, war im vorigen Semester auch so. Da der Prof kurz vor dem Ruhestand ist, ist seine Motivation nicht mehr sonderlich hoch…

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Ich bin in solchen Situationen immer zum Assi gegangen.

Schlechte Lösung: "Ihre Zahlen enthalten Rechenfehler."

Gute Lösung: "Bei der Musterlösung, die Sie freundlicherweise abgegeben haben, ist jemandem wohl irgendwann ein Tippfehler passiert; hier ist die richtige Lösung."

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An dir ist ein Psychologe verlorengegangen :-)

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Danke. Es wurde dann auch, nicht beabsichtigt aber hochwillkommen, öfter honoriert mit so Nettigkeiten wie Zugang zur besseren Druckerschlange, mehr Mailquota, mehr Diskquota, mehr Rechenzeit, mehr Kerne, Löcher in der Firewall dort wo ich sie haben wollte ... Von Schweigegeld sprach damals niemand. Also nicht explizit.

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Bedenklich, wenn gefühlt 95 % eurer Musterlösungen gänzlich falsch oder zumindest Fehler enthalten. Dass es mal passiert und man dann freundlich darauf hinweist ist völlig in Ordnung. Diesen Fall hier halte ich aber ehrlich gesagt für nicht tragbar. Spätestens bei der Besprechung sollte den Tutoren (oder wem auch immer) auffallen, dass da was nicht stimmt und eine umgehende Korrektur erfolgen. Das wurde wohl in den letzten Jahren schon versäumt. Traurig, traurig...