Mengenlehre Bedingungen für Inklusionsformel nachweisen

Question

Aufgabe

I A U B ∪ C| = IAI + IBI + ICI - I A ∩ B I - I A ∩ C I - I B ∩ C I + I A ∩ B ∩ C I

Problem/Ansatz:

Unter welcher Bedingungen gillt:

I A ∪ B ∪ C I = I A ∩ B ∩ B

Ich habe erst überlegt durch blindes Try and error, aber ich habe irgendwie keinen sinnvollen Angriffspunkt.

Comments

Was hat der zweite Teil mit der Aufgabe zu tun? Beim zweiten Teil soll es wohl nicht zweimal B heißen…

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Sollte eigentlich

i A ∪ B ∪ C I = I A ∩ B ∩ C I

heißen

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I A ∩ B ∩ B

Stimmt diese Angabe wirklich? 2-mal B und nur ein senkrechter Strich am Anfang?

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Nein mir ist nur ein Schreibfehler unterlaufen

i A ∪ B ∪ C I = I A ∩ B ∩ C I

Sollte es eigentlich heißen

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Nur wenn A=B=C

und hilft Dir das jetzt bei der eigentlichen Aufgabe weiter?

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Darf ich fragen wie du darauf gekommen bist? Sitze etwas länger an der Aufgabe Bzw. Sind A, B und C dann identische Mengen? Oder müssen sie nur von ihrer Mächtigkeit gemeinsam sein?

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Aber wie passt das da

IAI + IBI + ICI - I A ∩ B I - I A ∩ C I - I B ∩ C I + I A ∩ B ∩ C I

rein?

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A=B=C heißt identisch.

Nun, es gilt immer

\( (A \cap B \cap C) \subseteq(A \cup B \cup C) \)

also folgt für die Anzahl der Elemente:
\( |A \cap B \cap C| \leq|A \cup B \cup C| \)

mit Gleichheit nur, wenn es keine Elemente gibt, die z.B.  nur in \( A \), aber nicht in \( B \) oder \( C \) liegen.

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Und vielen lieben Dank bis dahin für deine mühe