Mengenlehre Bedingungen für Inklusionsformel nachweisen

Question

Aufgabe

I A U B ∪ C| = IAI + IBI + ICI - I A ∩ B I - I A ∩ C I - I B ∩ C I + I A ∩ B ∩ C I

Problem/Ansatz:

Unter welcher Bedingungen gillt:

I A ∪ B ∪ C I = I A ∩ B ∩ B

Ich habe erst überlegt durch blindes Try and error, aber ich habe irgendwie keinen sinnvollen Angriffspunkt.

Comments

Was hat der zweite Teil mit der Aufgabe zu tun? Beim zweiten Teil soll es wohl nicht zweimal B heißen…

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Sollte eigentlich

i A ∪ B ∪ C I = I A ∩ B ∩ C I

heißen

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I A ∩ B ∩ B

Stimmt diese Angabe wirklich? 2-mal B und nur ein senkrechter Strich am Anfang?

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Nein mir ist nur ein Schreibfehler unterlaufen

i A ∪ B ∪ C I = I A ∩ B ∩ C I

Sollte es eigentlich heißen

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Nur wenn A=B=C

und hilft Dir das jetzt bei der eigentlichen Aufgabe weiter?

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Darf ich fragen wie du darauf gekommen bist? Sitze etwas länger an der Aufgabe Bzw. Sind A, B und C dann identische Mengen? Oder müssen sie nur von ihrer Mächtigkeit gemeinsam sein?

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Aber wie passt das da

IAI + IBI + ICI - I A ∩ B I - I A ∩ C I - I B ∩ C I + I A ∩ B ∩ C I

rein?

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A=B=C heißt identisch.

Nun, es gilt immer

\( (A \cap B \cap C) \subseteq(A \cup B \cup C) \)

also folgt für die Anzahl der Elemente:
\( |A \cap B \cap C| \leq|A \cup B \cup C| \)

mit Gleichheit nur, wenn es keine Elemente gibt, die z.B.  nur in \( A \), aber nicht in \( B \) oder \( C \) liegen.

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Und vielen lieben Dank bis dahin für deine mühe

Answer 1

Ich habe erst überlegt durch blindes Try and error, aber ich habe irgendwie keinen sinnvollen Angriffspunkt.

Wenn einem das mit drei Mengen zunächst zu komplex erscheint, kann man es für zwei Mengen untersuchen. Also wann gilt

(1) A ∪ B = A ∩ B

Sei x ein Element von A

x ∈ A

dann gilt auch

x ∈ A ∪ B

und damit muss nach Gleichung (1) auch gelten

x ∈ A ∩ B

und damit muss auch gelten

x ∈ B

Damit zeigt man, dass A ⊆ B ist. Ebenso kann man zeigen, dass B ⊆ A ist.

Aus A ⊆ B und B ⊆ A folgt aber, dass A = B ist.

Damit zeigt man bei zwei Mengen

A ∪ B = A ∩ B → A = B

Dieses Beweis-Prinzip kann man jetzt natürlich auf 3 Mengen A, B und C erweitern.

Comments

Der Frsgesteller fragt doch nach der Folgerung aus |...|=|...| . Wieso kann man die Anzahl-Zeichen ignorieren?