Berechnung des Integrales der Bogenlänge über Polynomgleichungen am Beispiel der Ellipse

Question

Aufgabe:

Berechnung des Integrales der Bogenlänge über Polynomgleichungen am Beispiel der Ellipse

Problem/Ansatz:

Bogenlänge: Integral (1+f'(x)^2)^(1/2) dx

Ellipse   x^2/64+y^2/25=1, mit a=8, b=5, Halbachsen

y=+-5*(1-x^2/64)^0.5  Vereinfachung für die Bogenlänge: y=2*5/8*(8-x)^0.5*(8+x)^0.5=5/4*y_inv1*y_inv2

y₁=-x^2+8    y₂=x^2-8    y₁=-y₂          y_inv=inverse Funktion y=5/4*(-(y_inv)^2)

die modifizierte Integrationsgrenze ist x=8^(1/2)

siehe: http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Ellipse.html

mittleres Beispiel....

Berechnung:

Integral (1+f'(x)^2)^(1/2) dx = F_ges = (1+f'(x)^2)^(1/2), mit F₁=1 und F₂=f'(x), siehe:

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Schwingungen.html

unteres Beispiel

Integral F_gesdl_k=Integral F₁dl₂+Integral F₂dl₁

F₁=1 und F₂=5*(x^3-8x) = y_inv'

F_ges=(F₁^2+F₂^2)^(1/2)=(1^2+(5*(x^3-8x))^2)^(1/2)

l₁=Integral F₁(x) dx / F₁(x)=x/1=x, Energiebilanz....

l₂=Integral F₂(x) dx / F₂(x)=-(5*(x^2-8)^2)*1/4*1/(5*(x^3-8x))=(-8+x^2)/(4x)

l_k=(l₁^2+l₂^2)^(1/2)=(x^2+((x^2-8)/4x)^2)^(1/2)=1/4*((17x^4-16x^2+64)/x^2)^(1/2)

Integral F_gesdl_k=Integral F₁dl₂+Integral F₂dl₁

(1^2+(5*(x^3-8x))^2)^(1/2)*l_k=1*l₂+5(x^3-8x)*l₁=(x^2-8)*(20x^2+1)/(4x)

Probe für x=10:  47201 ist fast 46002, hier ergab sich eine Ungenauigkeit, die ich nicht erklären kann....

F₁<F₂<F_ges für x=8^(1/2), daraus folgt siehe letzten Link oben...., F₁/F_ges=1/(5(x^3-8x))=k  1/k=g

k^2+a^2=g^2  a=(1/k^2-k^2)^(1/2)=(25*(x^3-8x)^2-1/(25*(x^3-8x)^2))^(1/2)

Integral F_ges dl_k=E_ges*a  E_ges=1/a*F_ges*l_k

Energiebilanz siehe Link:  http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Bewegungsenergie.html

oberes Beispiel:  F_gesucht=E_ges/l, denn E₁*E₂=C₁*C₂

l=l₂=(x^2-8)/(4x), E_ges*/l₂=F_gesucht=die gesuchte Bogenlänge der Ellipse für x=8^(1/2)

ich erhalte für F_gesucht=39,6383  bei x=(8,095)^(1/2) und das ist dann ungenau.....

mein Fehler ist schon bei der Proberechnung mit x=10 zu suchen, ich habe Ihn nicht gefunden, wäre schön, sollte man mir da helfen können, Dankeschön!

Comments

Lerne LaTeX und bessere Struktur. Auch die Texte auf deiner Webseite sind sehr anstrengend zu lesen und wirken teilweise viel zu überladen und durcheinander.

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Was für eine Probe machst Du genau mit x=10?

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Integral F_gesdl_k=Integral F₁dl₂+Integral F₂dl₁

(12+(5*(x^3-8x))^2)^(1/2)*l_k=1*l₂+5(x^3-8x)*l₁=(x^2-8)*(20x^2+1)/(4x)

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Keine Ahnung was das soll, wenn schon Probe dann sollte diese im Vergleich mit der Ellipse durchgeführt werden - die es aber für x=10 nicht gibt

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auch für x=8^0.5 ist dies kein korrektes Ergebnis......

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Nun, wenig überraschend werden in Deinem unübersichtlichen Formelwust Fehler stecken.

Du kannst ja mal eine KI Deiner Wahl befragen, was sie von deinen Rechnungen hält.

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https://www.wolframalpha.com/input?i=%2812%2B%285*%28x%5E3-8x%29%29%5E2%29%5E%281%2F2%29*1%2F4*%28%2817x%5E4-16x%5E2%2B64%29%2Fx%5E2%29%5E%281%2F2%29+%3D%28x%5E2-8%29*%2820x%5E2%2B1%29%2F%284x%29

im Bereich von x=+-8^0.5 bis 0 sind die Graphen gleich....., mit geringen Abweichungen...., Wolfram Alpha liefert keine genauen Ergebnisse, deshalb mein Statement mit x=8^0.5 "ist nicht korrekt....", es liegt nicht an mir, sondern an Wolfram Alpha

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Man kann die Bogenlänge einer Ellipse nicht durch einfache Funktionen (wie Polynome) ausdrücken.

Folgt aus dem Satz von Liouville.

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die Graphen gleich....., mit geringen Abweichungen...., Wolfram Alpha liefert keine genauen Ergebnisse

Also sind die Graphen NICHT gleich. Und dann wundert man sich, dass ein Programm keine genauen Ergebnisse liefert? Hat ein bisschen was von "Traue keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast."

Aber wie schon in deinen vorherigen Beiträgen, gehst du nie richtig auf das ein, was man dir schreibt. Insofern ist hier jede Form von Hilfe vergebens, weil du ja so von deiner Mathematik überzeugt bist. Dabei schaffst du es meiner Meinung nach nicht einmal, sie sauber und klar zu formulieren. Die Konsequenz:

Nun, wenig überraschend werden in Deinem unübersichtlichen Formelwust Fehler stecken.

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Wolfram Alpha lügt und ich weiß wer noch, .....ich garantiert nicht!!!!!

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Genau das meine ich, es interessiert dich ohnehin nicht, was andere sagen. Dann unterlasse es bitte, deine Ausführungen hier zu veröffentlichen. Danke. :)

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Danke....., ist so in Ordnung! Ich brauche dies für meine Webseite....., die Ausführungen der Rechnungen...........................!

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So viel übrigens zur "Gleichheit" deiner Graphen. Da ist GAR NICHTS gleich.

Ich brauche dies für meine Webseite....., die Ausführungen der Rechnungen...........................!

Lerne erstmal, ernsthaft Mathematik zu betreiben. Das, was du machst, ist nichts als Chaos. Dann wird es auch nie mit den Rechnungen klappen. Denn anzunehmen, zwei Graphen seien gleich, bis auf "geringe Abweichungen", obwohl sie es ganz offensichtlich nicht einmal ansatzweise sind, ist schon der größte Irrtum, den du machen kannst.

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es liegt nicht an mir, sondern an Wolfram Alpha

Thanks, you made my day

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wenn ich ehrlich bin, muß ich sagen, daß ich Euch nicht traue, dabei sollten wir es belassen, ansonsten werden wir noch "handgreiflich", ich habe gesagt: Wolfram Alpha liefert keine genauen Ergebnisse, wünsche Euch noch einen schönen 1. Mai....

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Ich habe WolframAlpha nicht genutzt, sondern die von dir eingegebenen Funktionen...

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Das meint Gemini dazu (wie immer sehr höflich):

Der Text enthält leider eine Vielzahl von mathematischen Fehlern, unkonventionellen Definitionen und logischen Sprüngen, die die Berechnung ungültig machen.

Und das ChatGPT ausführlich:

Kurz gesagt: Der Ansatz ist mathematisch an mehreren entscheidenden Stellen nicht korrekt bzw. nicht zulässig. Die wichtigsten Punkte:
1. Grundproblem: Bogenlänge der Ellipse

Für die Ellipse
\( \frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{25}=1 \quad(a=8, b=5) \)
lässt sich die Bogenlänge nicht durch elementare Funktionen ausdrücken.
Die zugrunde liegende Formel ist:
\( L=\int \sqrt{1+\left(y^{\prime}(x)\right)^{2}} d x \)

Mit der Parametrisierung
\( x=8 \cos t, \quad y=5 \sin t \)
ergibt sich:
\( L=\int \sqrt{64 \sin ^{2} t+25 \cos ^{2} t} d t \)

Dieses Integral gehört zur Klasse der elliptischen Integrale und ist nicht elementar lösbar.
2. Unzulässige Zerlegung

Im Ansatz wird versucht, den Ausdruck
\( \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} \)
in Bestandteile zu zerlegen und separat zu integrieren.
Das ist nicht zulässig, da allgemein gilt:
\( \int \sqrt{F_{1}^{2}+F_{2}^{2}} \neq \int F_{1}+\int F_{2} \)

Hier liegt ein zentraler mathematischer Fehler.

3. Verwendung einer inversen Funktion

Die Einführung einer Umkehrfunktion (z. B. \( y_{\text {inv }} \) ) führt in diesem Kontext nicht zu einer Vereinfachung, da:
- die Ellipse keine eindeutige Funktion \( y(x) \) ist (zwei Äste),
- die Umkehrung die Struktur des Integrals nicht vereinfacht.
4. Numerische Abweichung

Die angegebene Probe zeigt eine deutliche Abweichung.
Das spricht nicht für einen Rundungsfehler, sondern für einen grundlegenden Fehler im Ansatz.

Korrektes Vorgehen
Parametrisierung
\( x=8 \cos t, \quad y=5 \sin t \)
führt zu:
\( L=\int \limits_{0}^{2 \pi} \sqrt{64 \sin ^{2} t+25 \cos ^{2} t} d t \)

Gute Näherung (Ramanujan)
\( L \approx \pi[3(a+b)-\sqrt{(3 a+b)(a+3 b)}] \)

Für \( a=8, b=5 \) :
\( L \approx 40,6 \)

Fazit
Der Ansatz scheitert im Wesentlichen daran, dass versucht wird,
- ein nicht-elementares Integral algebraisch aufzulösen,
- Wurzelausdrücke unzulässig zu zerlegen,
- Integrale linear zu behandeln, obwohl dies hier nicht möglich ist.

Alles Lügner

Frohes Schaffen