Bestimmen Sie den Wert von a bei den Integralen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit \( f(x)=2 \ln \left(\frac{x}{2}\right)+2 \) mit maximaler Definitionsmenge.
a) Begründen Sie, dass \( f \) umkehrbar ist.
b) Bestimmen Sie einen Term der Umkehrfunktion \( \overline{\mathrm{f}} \).
c) Es gilt: \( \int \limits_{0}^{2}(2-\bar{f}(x)) d x=\int \limits_{a}^{2} f(x) d x \)
Bestimmen Sie den Wert von a.

Problem/Ansatz:

Ich habe a) und b) gemacht und ich weiß, das bei c) a = 2/e herauskommt. Wenn ich die beiden Integrale löse und gleichsetze komme ich am ende auf eine Gleichung der Form \( \frac{1}{e} \) = -z·ln(z) mit z=a/2

Wie löst man so etwas? Dass 1/e diese Gleichung erfüllt, kann man sehen. Also scheint bis hierhin alles richtig zu sein.

Comments

Statt über die Integrale zu gehen ist es wohl einfacher, geometrisch über eine Skizze und mit den Eigenschaften der Umkehrfunktion zu argumentieren.

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Irgend etwas mache ich falsch, dass ich auf keine reelle Lösung komme. Kann mir jemand sagen, was?

c)

\( \displaystyle \underbrace{2 \cdot (2 + \ln(4) - 2 \; \log(2))\vphantom{\lim\limits_{x\to 0}}}_{\text{Stammfunktion oben}} - \underbrace{\overbrace{\lim\limits_{x\to 0} \; x \cdot (2 + \ln(4) - 2 \; \ln(x))}^{=0}}_{\text{Stammfunktion unten}}  \\\\\\ = \underbrace{2\cdot2 \cdot \ln(2/2)}_{\text{Stammfunktion oben}}  - \underbrace{2a \cdot \ln(a/2)}_{\text{Stammfunktion unten}} \)

\( \displaystyle \Longrightarrow \quad 4 - 0 = 0 - 2a \cdot \ln(a/2) \)

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Für das linke Integral mit der Umkehrfunktion habe ich \( \frac{4}{e} \)  heraus.

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Nach obiger Skizze ist a die Nullstelle von f(x) oder der y-Achsenabschnitt der Umkehrfunktion.

a = f^-1(0) = 2·e^(x/2 - 1) = 2/e ≈ 0.7358

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\( \begin{array}{l}\underbrace{2 \cdot(2+\ln (4)-2 \log (2))}_{\text {Stammfunktion oben }}-\underbrace{\overbrace{\lim \limits_{x \rightarrow 0} x \cdot(2+\ln (4)-2 \ln (x))}^{=0}}_{\text {Stammfunktion unten }} \\ =\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ln (2 / 2)}_{\text {Stammfunktion oben }}-\underbrace{2 a \cdot \ln (a / 2)}_{\text {Stammfunktion unten }} \\ \Longrightarrow 4-0=0-2 a \cdot \ln (a / 2)\end{array} \)

Hier verstehe ich einiges nicht, log statt ln? x gegen 0? Die untere Grenze bei f(x) ist doch a? Die nächste Zeile ist dann wieder ok, da taucht dann auch wieder das ‚a‘ auf.

Das fehlende ‚e’ links im Nenner wurde vom FS ja schon erwähnt.

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Danke für den Hinweis zur Lösung über die Umkehrfunktion!

Answer 1

Man könnte mal die Ableitung bilden: h'(z) = -ln(z) -1 hat bei 1/e einen Nulldurchgang.

Und h(1/e) = 1/e

Comments

Könntest du erläutern, was die Nullstelle der ersten Ableitung mit der Lösung der Gleichung zu tun hat?

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Ist vielleicht Zufall.

Um mir klar zu werden, was das für eine Funktion ist, habe ich mal die Ableitung gebildet und das Maximum bestimmt.

$$h(z) = -z lnz$$

Maxiumum: -lnz=1

$$=> h(z) = z$$

Answer 2

Für das linke Integral mit der Umkehrfunktion habe ich 4/e heraus.

Das ist richtig.

4/e = - 2·a·ln(a/2)

Subst. a/2 = e^x --> a = 2·e^x

4/e = - 2·(2·e^x)·ln(e^x)

4/e = - 4·e^x·x

x = -1

a = 2/e