Wo ist Süden, wenn drei von der Sonne geworfene Stabschatten bekannt sind?

Question

Aufgabe:

Wo ist Süden ?

Problem/Ansatz:

Die Enden der drei von der Sonne geworfenen Schatten befinden sich auf einer Hyperbel.

Die Stabspitze ist die Spitze desjenigen Kegels, zu dem die Hyperbel ein Kegelschnitt ist.

Comments

Habe die Aufgabe dreimal dem gleichen Plapperbot vorgelegt.

Antwort 1: Süden ungefähr links unten im Bild

Antwort 2: Süden rechts oben

Antwort 3: Süden links oben

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Gemini stellt das Ganze wie folgt in Geogebra dar. Dabei habe ich darum gebeten, 1 LE im Koordinatensystem als 20 cm zu betrachten.

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Danke, dies Lösung gefällt mir sehr.

Aber, wie würdest Du die Aufgabe selbst lösen?

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Im Grunde geht es doch nur darum, die passende Hyperbel auf dem Boden zu finden. Das Problem daran ist, dass wir nur drei Schattenpunkte haben und eine Hyperbel 5 Freiheitsgrade besitzt. Aber wir haben ja noch unseren Stab und wir wissen, dass die Sonnenstrahlen im Verlaufe des Tages auf einem Kegelmantel liegen. Die Spitze dieses Kegels ist unsere Stabspitze und die Sonnenstrahlen bilden im Tagesverlauf immer den gleichen Winkel mit der Drehachse der Erde. Damit hat man dann alle Informationen, um das rechnerisch in Gleichungen umzusetzen und zu berechnen.

Wobei die Frage und das Niveau, auf dem die Frage beantwortet werden soll, durchaus etwas Interpretationsspielraum lassen.

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Danke, so weit, so gut.

Die Skizze ist nicht ganz richtig. Die Stabspitze (Nodus)  ist ein Punkt auf der Kegelachse (Erd-/Himmelsachse), nicht ihr Fußpunkt.

M.E. sind 4 Bestimmungs-Stücke bekannt (3 Punkte auf der Schnittebene und die Stabhöhe), und es fehlen noch zwei (Kegelwinkel bzw .Sonnendeklination δ und Schnittwinkel bzw. geogr.Breite φ) . D.h., dass 6 Stücke nötig wären.

Was wäre denn für Dich das fünfte (konstanter Winkel und Kreiskegel ergeben nur ein Stück)?

Der Aufgabensteller könnte den φ-Wert seines Wohnortes vorausgesetzt haben, aber δ bleibt variabel (-23,5° bis + 23,5°;  δ > 0 bei nach unten gebogener Hyperbel).

Möglicherweise heben sich zwei Dinge gegenseitig auf, sonst wäre die Aufgabe m.E. nicht lösbar.

Was meinst Du?

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Vielleicht probierst du mal, das mit Geogebra in 3D zu modellieren.

Hier eine Skizze, wie es aussehen könnte. Wenn du es selber modellierst, hast du den Vorteil, es aus allen Perspektiven sehen zu können. Das ist der Grund, warum ich keinen Link zu meiner Arbeit setze, sondern nur ein Bild davon poste.

Die Gerade auf dem die Höhe des Kegels liegt hat zu allen drei Sonnenstrahlvektoren den gleichen Winkel. Damit kannst du die Gerade berechnen. Diese Gerade hat genau die Nord-Süd-Richtung, wenn du die z-Komponente weglässt.

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Ich empfehle den Bau einer einfachen Sonnenuhr als Projekt. Ideal z.B. für Schüler im Physikunterricht.

Wir haben das damals schon in der Schule gemacht. Allerdings vermutlich keine Klasse mehr nach uns, denn was sollte man auch mit Dutzenden von Sonnenuhren auf dem Schulhof.

Answer 1

Stabspitze
[0, 0, 70]

Drei Schattenpunkte
[- 120, 80, 0], [80, - 20, 0], [- 40, 60, 0]

Drei normierte Sonnenstrahlvektoren
[- 120, 80, - 70] / √(120^2 + 80^2 + 70^2) = [- 12·√257/257, 8·√257/257, - 7·√257/257]
[80, - 20, - 70] / √(80^2 + 20^2 + 70^2) = [8·√13/39, - 2·√13/39, - 7·√13/39]
[- 40, 60, - 70] / √(40^2 + 60^2 + 70^2) = [- 4·√101/101, 6·√101/101, - 7·√101/101]

Da der Vektor der Sonnenstrahlen zum Vektor der Höhe des Kegels immer den gleichen Winkel hat gilt:
r·COS(γ) = k = [- 12·√257/257, 8·√257/257, - 7·√257/257]·[x, y, z]
r·COS(γ) = k = [8·√13/39, - 2·√13/39, - 7·√13/39]·[x, y, z]
r·COS(γ) = k = [- 4·√101/101, 6·√101/101, - 7·√101/101]·[x, y, z]

Damit erhalte ich die Lösung
x = k·(- √257/5 + √101/4 - 3·√13/20)
y = k·(- 3·√257/10 + √101/2 - 3·√13/5)
z = k·(- √257/7 + √101/7 - 3·√13/7)

Und damit als Südvektor auf dem Boden
[- √257/5 + √101/4 - 3·√13/20, - 3·√257/10 + √101/2 - 3·√13/5] ≈ [- 1.235, - 1.948]

Comments

Danke für Deine Rechnung,

ich nehme dankend zur Kenntnis dass die Südrichtung  gegen die negative y-Achse mit

α ≈ 32,4° im Uhrzeigersinn verdreht ist: α = arctan (1.235/1.948).

Im Rechnen mit Vektoren bin ich leider nicht vertraut, vielleicht versuche ich es gelegentlich doch noch, mich hineinzufinden.

Was ich mit Deiner Hilfe kapiert habe: δ und φ müssen nicht vorgegeben werden, sie sind Teil der Lösung. δ ist der Winkel des Kegels, auf dessem Mantel die die Stabspitze streifenden Sonnenstrahlen liegen, φ ist der Winkel zwischen der Kegelachse (Himmelsachse, Polstab)  und der Schnittebene. Die 3 Vorgaben werden für 3 Unbekannte benötigt: 2 Richtungswinkel der Kegelachse (φ ist damit abgedeckt) und der Kegelwinkel.

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Die einzige Annahme, die wir bei dieser Aufgabe treffen müssen, ist die, dass man sich auf der Nordhalbkugel (genauer nördlich des nördlichen Wendekreises) der Erde befindet.

Denn auf der Südhalbkugel kann der Schatten im Gegensatz zur Nordhalbkugel auch nach Süden weisen.

Aber die Annahme, dass man sich auf der Nordhalbkugel befindet, ist nicht so abwegig.

Du kannst ja mal anhand der Aufgabe den Breitengrad berechnen und auch anhand der Deklination die ungefähre Jahreszeit.

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Im Rechnen mit Vektoren bin ich leider nicht vertraut, vielleicht versuche ich es gelegentlich doch noch, mich hineinzufinden.

Vielleicht ist es sinnvoll, in Zukunft mit anzugeben, in welchem Zusammenhang diese Aufgabe auftaucht, damit man gezielt schauen kann, mit welchen Mitteln die Aufgabe gelöst werden soll(te) oder kann.

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Vielleicht ist es sinnvoll, in Zukunft mit anzugeben, in welchem Zusammenhang diese Aufgabe auftaucht, damit man gezielt schauen kann, mit welchen Mitteln die Aufgabe gelöst werden soll(te) oder kann.

Nix Neues. Ich schrieb als Kommentar

Wobei die Frage und das Niveau, auf dem die Frage beantwortet werden soll, durchaus etwas Interpretationsspielraum lassen.

Die Aufgabe könnte ein Fünftklässler sicher beantworten, wenn auch nicht so exakt wie ein Abiturient, der das auf ein paar nicht messbare Nachkommastellen genau angeben kann.

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Die Aufgabe könnte ein Fünftklässler sicher beantworten, ...

Die Exaktheit

bis auf nicht messbare Nachkommastellen genau ...

wäre mir wurscht. Wenn aber ein Fünftklässler oder einer von Euch mir anschaulich den Zusammenhang zwischen der hier benutzten
Formel für den Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren

und

Der Cosinus eines der beiden nicht-rechtwinkligen Winkel im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse dieses Dreiecks.

wäre ich sehr glücklich.

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Hier wird nicht mit Seiten, sondern mit Vektoren gerechnet. Bei Vektoren gilt

$$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(γ)$$

Wobei γ der von den Vektoren eingeschlossene Winkel ist.

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Ich fand inzwischen Folgendes

1. In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren wie folgt:

\( \vec{a} \)  •  \( \vec{b} \)  =  a₁b₂ + a₂b₁

2.a Geometrisch bzw. koordinatenfrei lässt es sich wie folgt definieren:

 \(\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(φ)\)

2.b Geometrische Deutung des Skalarprodukts (s.beigefügte Abb.):
Das Skalarprodukt \( \vec{a} \) • \( \vec{ b} \)  ist gleich dem Produkt der Länge von \( \vec{a} \) und der Länge der Projektion
\( \vec{b} \) _{\( \vec{a} \)} von \( \vec{b} \) auf die Richtung von \( \vec{a} \).

Zu Deiner Aussage

Hier wird nicht mit Seiten, sondern mit Vektoren gerechnet.

In 2.b steht deutlich zweimal Länge, und im Bild sind die 3 Seiten eines Dreiecks gezeichnet.
Im  Bild ist auch das zu finden, was ich suchte: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse dieses Dreiecks der Cosinus des betreffenden Winkels.

Die Aussagen unter 2.a und 2.b sind für mich verständlich und ausreichend. Das lapidare berechnet unter 1. ist für mich ungenügend. Kannst Du dazu etwas Besseres schreiben?

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Skalarprodukt-geometrische-Deutung.svg

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@holdi: Der Mathecoach schreibt oft an den Fragen anderer Leute vorbei. Dass sein Kommentar also keinen Bezug zu deiner gestellten Frage hat und diese damit nicht beantwortet, ist also völlig normal.

Die Formel unter 1 ist falsch und lautet korrekt

\(\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2 \).

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Es sei \(\alpha\) der Winkel von \(\vec a\) zur \(x\)-Achse und \(\beta\) der Winkel von \(\vec b\) zur \(x\)-Achse. Dann gilt$$\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}|\vec a|\cos(\alpha)\\|\vec a|\sin(\alpha)\end{pmatrix}$$und $$\vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}|\vec b|\cos(\beta)\\|\vec b|\sin(\beta)\end{pmatrix}.$$Setzt man das in die Koordinatenformel des Skalarprodukts ein, erhält man $$\begin{aligned}\vec a\cdot\vec b&=a_1b_1+a_2b_2\\&=|\vec a|\cos(\alpha)\cdot|\vec b|\cos(\beta)+|\vec a|\sin(\alpha)\cdot|\vec b|\sin(\beta)\\&=|\vec a||\vec b|\left(\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)\right).\end{aligned}$$Nun gilt die trigonometrische Identität$$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta).$$Daher folgt $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos(\alpha-\beta).$$Der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist gerade \(\varphi=\alpha-\beta\) bis auf das Vorzeichen. Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, gilt \(\cos(-x)=\cos(x).\) Also erhält man insgesamt$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos(\varphi).$$

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Ich hoffe, dass die Antwort von Apfelmännchen deine Frage geklärt hat. Wenn nicht, dann bitte gerne nochmals nachfragen.

Ich habe nur mit dem Skalarprodukt der Vektoren gerechnet.

r·COS(γ) = k = [- 12·√257/257, 8·√257/257, - 7·√257/257]·[x, y, z]

r wäre dabei die Länge von Vektor [x, y, z]. k ist das Produkt r·COS(γ), Da dieses Produkt bei einem gleichen Winkel ja ebenfalls gleich sein muss, ergab sich ein Gleichungssystem, das ein Rechner lösen kann.

Mit der Länge der Vektoren rechne ich nicht und erst recht nicht mit Ankathete und Hypotenuse wie im Cosinus definiert.

COS(γ) = Ankathete / Hypotenuse

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@mathecoach,

rechne ich nicht

Ich erwarte garnicht, dass Du mir etwas vorrechnest und schon garnicht, dass Du eine Rechnung routinehaft ausführst (oder von einem Automaten machen lässt), die mir wegen sofortiger Umformungen und Kürzungen vorerst ärgerliche Mühe macht, um herauszufinden, was eigentlich vorsichgeht. Ich habe deshalb nämlich erst einmal das Handtuch geworfen.

Ich habe nur mit dem Skalarprodukt der Vektoren gerechnet.

r·COS(γ) = k = [- 12·√257/257, 8·√257/257, - 7·√257/257]·[x, y, z]

Mit dieser Nachdoppelung komme ich auch nicht weiter. Ich erkenne darin nicht das Gleichsetzen von

\(\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2 \)       und     \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos(\varphi)\)

also      \(a_1b_1+a_2b_2 \) = \(|\vec a||\vec b|\cos(\varphi)\).

Für mein (evtl. momentanes) Verständnis ist nicht

mit dem Skalarprodukt der Vektoren

sondern mit diesen beiden Ausdrücken des Skalaroproduktes zu rechnen. Bitte korrigiere mich sorgfältig, falls ich irre.

@apfelmännchen,

Dank an Dich, dass Du mir erklärt hast, was mit

\(\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2 \)

als Rechenrezept verbreitet wird (und Du mich auf meinen Schreibfehler aufmerksam gemacht hast).

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Nachtrag:
Ich habe mir trotz meines Unmutes die gerechneten Werte angeeignet und die Südrichtung (aus x- und y-Koordinate) und die geographische Breite des Aufstellortes der Sonnenuhr (aus Richtung der Kegelachse) ermittelt. Wie komme ich zur momentanen Deklination der Sonne (bzw. den Kegelwinkel)?

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k = [- 12·√257/257, 8·√257/257, - 7·√257/257]·[x, y, z]

vereinfacht sich durch Ausrechnen des Skalarproduktes zu

k = - 12/257·√257·x + 8/257·√257·y - 7/257·√257·z

oder wem es näherungsweise langt

k ≈ - 0.7485·x + 0.4990·y - 0.4366·z

Genau so macht man das für die 2 anderen Gleichungen und erhält ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten. Daher löst man das LGS in Abhängigkeit des Parameters k.

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Im dreidimensionalen haben die Vektoren auch 3 Einträge also benutzt man das Skalarprodukt der Vektoren wie folgt

$$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$$

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Weiter stoisch nachgefragt:

r·COS(γ) = k = [- 12·√257/257, 8·√257/257, - 7·√257/257]·[x, y, z]

Wie sieht denn diese Formel aus, wenn noch keine Werte eingesetzt und umgeschrieben sind?

Ist es vielleicht doch die, die ich oben für 2D angeführt habe?:

\(a_1b_1+a_2b_2 \) = \(|\vec a||\vec b|\cos(\varphi)\)

umgeformt              cos(φ) = (\(a_1b_1+a_2b_2 \))  /  \(|\vec a||\vec b|\)

Aber, wo wären die Vektorlängen |..| im Nenner, insbesondere für  \( \vec{b} \) = \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)

Anmerkung: Für 2D denke man sich das zuletzt geschriebene z weg (ohne ist im Formelzeichen-Kasten nicht enthalten).

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Vektor a habe ich extra auf die Länge 1 normiert. Und zu r habe ich oben schon gesagt, dass es die Länge von Vektor b = [x, y, z] ist, weil ich die Länge ja nachher frei wählen möchte.

Und nein. Ich habe die Formel für das Dreidimensionale benutzt und nicht für das zweidimensionale. Und einen Nenner hat man bei der von dir gelb unterlegten Formel ja nicht.

Und genau die benutze ich eben nur für das dreidimensionale.

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Auf der rechten Seite steht das Skalarprodukt zweier Vektoren, auf der linken Seite steht \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\varphi)\).

Der Vektor \(\vec{b}\) hat die Länge \(r\), diese ist aber unerheblich, weil sie ja in jeder Gleichung vorkommt.

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&apfelmännchen

Du meinst wohl, dass   |\( \vec{a} \) | = 1    links steht, bzw. weil  =1   dort nicht steht, oder auch nicht im Nenner rechts steht, also nirgends steht. Solche Dinge zu überspringen, sind für mich schlechte Manieren, die die meisten Fachleute/Experten/Insider, aber gute Lehrer nicht haben.

&mathecoach

Langsam reißt mein Geduldsfaden anlässlich Deiner gelegentlich blöden Bemerkungen (2D versus 3D) und Deiner Coatching-Methode,  Mathe-Kenntnisse nicht zu vermitteln, Dir solche nur nach geduldigem mehrmaligem Nachfragen aus der Nase ziehen zu lassen.
Mir geht es um Kenntnisse der Mathematik, die ich, wenn ich sie erworben / vermittelt bekommen habe,  ganz gut selbst anzuwenden (in Formeln einsetzen und rechnen) weiß.

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Ok, ich werde keine blöden Bemerkungen mehr machen, aber auch keine weiteren Fragen dazu beantworten.

Ich bin raus.

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Du meinst wohl, dass   |\( \vec{a} \) | = 1    links steht, bzw. weil  =1   dort nicht steht, oder auch nicht im Nenner rechts steht, also nirgends steht. Solche Dinge zu überspringen, sind für mich schlechte Manieren, die die meisten Fachleute/Experten/Insider, aber gute Lehrer nicht haben.

Das ist für die Antworten von MC allerdings typisch. Häufig nur eine "hingeklatschte" Lösung ohne Erklärung. Allerdings hat er oben erläutert, dass er die Vektoren normiert hat. Da darf man dann ruhig ein bisschen mitdenken, denn jemand, der halbwegs etwas von Mathematik versteht - und davon gehe ich bei dir schon aus - sollte schnell darauf kommen, warum das \(|\vec{a}|\) nicht mehr explizit da steht. Dass er aber bspw. das \(r\) in seiner Antwort zuvor gar nicht erläutert hat, ist in der Tat zu kritisieren. Aber auch das wurde in einem späteren Kommentar nachgeholt.

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Die Normierung erfolgte sofort, aber ohne Begründung oder Hinweis darauf, dass das später eine Rolle spielen würde.

das \(r\) ... nicht erläutert .... Aber auch das wurde in einem späteren Kommentar nachgeholt.

Das fällt unter meine Bemerkung

nach geduldigem mehrmaligem Nachfragen aus der Nase ziehen ... lassen.

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@Apfelmännchen

Auf der rechten Seite steht das Skalarprodukt zweier Vektoren, auf der linken Seite steht \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\varphi)\).

Mir fällt auf, dass neben Dir auch andere nur die rechte Seite als Skalarprodukt bezeichnen. Was wäre denn Deiner Meinung nach die linke Seite? M.E. steht hier nur eine andere Schreibweise für das Skalarprodukt. Die Gleichung zeigt Gleiches: Skalarprodukt = Skalarprodukt.
Oben hast Du doch diese Gleichheit für mich hergeleitet.

Also erhält man insgesamt$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos(\varphi).$$

Die linke Seite wie oben ausgeschrieben:

..., die ich oben für 2D angeführt habe?:\(a_1b_1+a_2b_2 \) = \(|\vec a||\vec b|\cos(\varphi)\)

Gut, das ist eine formale Angelegenheit.
Sachlich gesehen: Es hat mich ziemlich irritiert, dass ohne Zufügen eines anderen Inhalts sich ein LGS aufstellen und lösen lässt. Kannst Du mich von dieser Konfussion befreien?

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Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

Bei Termen der Form

$$\vec a \cdot \vec b$$

oder

$$\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \end{pmatrix}$$

handelt es sich um ein Skalarprodukt. Terme der Form

$$a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$$

oder

$$|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(\varphi)$$

bezeichnet man nicht als Skalarprodukt, weil hier keine Vektoren multipliziert werden. Hier handelt es sich also nur um Berechnungsvorschriften, wie das Skalarprodukt berechnet werden kann.

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Das Skalarprodukt ist eine Verknüpfung zwischen zwei Vektoren. Die linke Seite ist letztendlich nur eine schöne geometrische Eigenschaft, die sich ergibt aus den Längen und dem Winkel zwischen den Vektoren. Das gilt sogar für Dimensionen größer als 3. Stellt man das ganze nach \(\varphi \) um, erhält man eine Formel für den Winkel, die vom Skalarprodukt abhängt.

Definitionen in der Mathematik müssen übrigens nicht eindeutig sein. Es ist also genauso legitim, die linke Seite als Skalarprodukt (in diesem Kontext) zu definieren. Allerdings ist die rechte Seite leichter zu berechnen.

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Da Ihr Euch teilweise widersprecht, schlussfolgere ich, dass es sich einfach eingebürgert hat, die rechte Seite   \(\vec a \cdot \vec b\)    als Skalarprodukt zu bezeichen. Die linke Seite   \(|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(\varphi)\)    hat gleich wie   \(a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\)   einen geringeren Status. Beide sind "nur" Berechnungsvorschriften. Der rechten Seite sieht man garnicht an, dass es sich um Vektoren handelt.

Gemäß dubioser Anmerkung

..., weil hier keine Vektoren multipliziert werden.

begäbe man sich ja sogar in eine Sackgasse, wenn man so etwas sehen wollte. Ab in den Papierkorb.

Was die gleichzeitige Arbeit mit beiden Rechenvorschriften betrifft, bleibt für mich eine schöne Sache, die ich nun nicht mehr irritiert, sondern nur noch fasziniert hinnehme.

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Es hat sich nicht eingebürgert, sondern ist schlicht die übliche Schreibweise für ein Produkt von Vektoren (es gibt zum Beispiel noch das Kreuzprodukt \(\vec{a} \times \vec{b}\) in 3D). Allgemein definiert man ein Skalarprodukt sogar als Bilinearform (mit bestimmten Eigenschaften) und nutzt dann die Schreibweise \( \langle x, y \rangle \).

Man lernt übrigens in der Sekundarstufe 1, dass ein Term wie \( a \cdot (b+c) \) ein Produkt, der Term \(ab + ac \) allerdings eine Summe ist (die zuletzt ausgeführte Operation ist hier ausschlaggebend). Dennoch sind beide Terme äquivalent, obwohl sie eine andere mathematische Bezeichnung haben.