Wo ist Süden, wenn drei von der Sonne geworfene Stabschatten bekannt sind?

Question

Aufgabe:

Wo ist Süden ?

Problem/Ansatz:

Die Enden der drei von der Sonne geworfenen Schatten befinden sich auf einer Hyperbel.

Die Stabspitze ist die Spitze desjenigen Kegels, zu dem die Hyperbel ein Kegelschnitt ist.

Comments

Habe die Aufgabe dreimal dem gleichen Plapperbot vorgelegt.

Antwort 1: Süden ungefähr links unten im Bild

Antwort 2: Süden rechts oben

Antwort 3: Süden links oben

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Gemini stellt das Ganze wie folgt in Geogebra dar. Dabei habe ich darum gebeten, 1 LE im Koordinatensystem als 20 cm zu betrachten.

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Danke, dies Lösung gefällt mir sehr.

Aber, wie würdest Du die Aufgabe selbst lösen?

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Im Grunde geht es doch nur darum, die passende Hyperbel auf dem Boden zu finden. Das Problem daran ist, dass wir nur drei Schattenpunkte haben und eine Hyperbel 5 Freiheitsgrade besitzt. Aber wir haben ja noch unseren Stab und wir wissen, dass die Sonnenstrahlen im Verlaufe des Tages auf einem Kegelmantel liegen. Die Spitze dieses Kegels ist unsere Stabspitze und die Sonnenstrahlen bilden im Tagesverlauf immer den gleichen Winkel mit der Drehachse der Erde. Damit hat man dann alle Informationen, um das rechnerisch in Gleichungen umzusetzen und zu berechnen.

Wobei die Frage und das Niveau, auf dem die Frage beantwortet werden soll, durchaus etwas Interpretationsspielraum lassen.

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Danke, so weit, so gut.

Die Skizze ist nicht ganz richtig. Die Stabspitze (Nodus)  ist ein Punkt auf der Kegelachse (Erd-/Himmelsachse), nicht ihr Fußpunkt.

M.E. sind 4 Bestimmungs-Stücke bekannt (3 Punkte auf der Schnittebene und die Stabhöhe), und es fehlen noch zwei (Kegelwinkel bzw .Sonnendeklination δ und Schnittwinkel bzw. geogr.Breite φ) . D.h., dass 6 Stücke nötig wären.

Was wäre denn für Dich das fünfte (konstanter Winkel und Kreiskegel ergeben nur ein Stück)?

Der Aufgabensteller könnte den φ-Wert seines Wohnortes vorausgesetzt haben, aber δ bleibt variabel (-23,5° bis + 23,5°;  δ > 0 bei nach unten gebogener Hyperbel).

Möglicherweise heben sich zwei Dinge gegenseitig auf, sonst wäre die Aufgabe m.E. nicht lösbar.

Was meinst Du?

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Vielleicht probierst du mal, das mit Geogebra in 3D zu modellieren.

Hier eine Skizze, wie es aussehen könnte. Wenn du es selber modellierst, hast du den Vorteil, es aus allen Perspektiven sehen zu können. Das ist der Grund, warum ich keinen Link zu meiner Arbeit setze, sondern nur ein Bild davon poste.

Die Gerade auf dem die Höhe des Kegels liegt hat zu allen drei Sonnenstrahlvektoren den gleichen Winkel. Damit kannst du die Gerade berechnen. Diese Gerade hat genau die Nord-Süd-Richtung, wenn du die z-Komponente weglässt.

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Ich empfehle den Bau einer einfachen Sonnenuhr als Projekt. Ideal z.B. für Schüler im Physikunterricht.

Wir haben das damals schon in der Schule gemacht. Allerdings vermutlich keine Klasse mehr nach uns, denn was sollte man auch mit Dutzenden von Sonnenuhren auf dem Schulhof.

Answer 1

Stabspitze
[0, 0, 70]

Drei Schattenpunkte
[- 120, 80, 0], [80, - 20, 0], [- 40, 60, 0]

Drei normierte Sonnenstrahlvektoren
[- 120, 80, - 70] / √(120^2 + 80^2 + 70^2) = [- 12·√257/257, 8·√257/257, - 7·√257/257]
[80, - 20, - 70] / √(80^2 + 20^2 + 70^2) = [8·√13/39, - 2·√13/39, - 7·√13/39]
[- 40, 60, - 70] / √(40^2 + 60^2 + 70^2) = [- 4·√101/101, 6·√101/101, - 7·√101/101]

Da der Vektor der Sonnenstrahlen zum Vektor der Höhe des Kegels immer den gleichen Winkel hat gilt:
r·COS(γ) = k = [- 12·√257/257, 8·√257/257, - 7·√257/257]·[x, y, z]
r·COS(γ) = k = [8·√13/39, - 2·√13/39, - 7·√13/39]·[x, y, z]
r·COS(γ) = k = [- 4·√101/101, 6·√101/101, - 7·√101/101]·[x, y, z]

Damit erhalte ich die Lösung
x = k·(- √257/5 + √101/4 - 3·√13/20)
y = k·(- 3·√257/10 + √101/2 - 3·√13/5)
z = k·(- √257/7 + √101/7 - 3·√13/7)

Und damit als Südvektor auf dem Boden
[- √257/5 + √101/4 - 3·√13/20, - 3·√257/10 + √101/2 - 3·√13/5] ≈ [- 1.235, - 1.948]

Comments

Danke für Deine Rechnung,

ich nehme dankend zur Kenntnis dass die Südrichtung  gegen die negative y-Achse mit

α ≈ 32,4° im Uhrzeigersinn verdreht ist: α = arctan (1.235/1.948).

Im Rechnen mit Vektoren bin ich leider nicht vertraut, vielleicht versuche ich es gelegentlich doch noch, mich hineinzufinden.

Was ich mit Deiner Hilfe kapiert habe: δ und φ müssen nicht vorgegeben werden, sie sind Teil der Lösung. δ ist der Winkel des Kegels, auf dessem Mantel die die Stabspitze streifenden Sonnenstrahlen liegen, φ ist der Winkel zwischen der Kegelachse (Himmelsachse, Polstab)  und der Schnittebene. Die 3 Vorgaben werden für 3 Unbekannte benötigt: 2 Richtungswinkel der Kegelachse (φ ist damit abgedeckt) und der Kegelwinkel.

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Die einzige Annahme, die wir bei dieser Aufgabe treffen müssen, ist die, dass man sich auf der Nordhalbkugel (genauer nördlich des nördlichen Wendekreises) der Erde befindet.

Denn auf der Südhalbkugel kann der Schatten im Gegensatz zur Nordhalbkugel auch nach Süden weisen.

Aber die Annahme, dass man sich auf der Nordhalbkugel befindet, ist nicht so abwegig.

Du kannst ja mal anhand der Aufgabe den Breitengrad berechnen und auch anhand der Deklination die ungefähre Jahreszeit.

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Im Rechnen mit Vektoren bin ich leider nicht vertraut, vielleicht versuche ich es gelegentlich doch noch, mich hineinzufinden.

Vielleicht ist es sinnvoll, in Zukunft mit anzugeben, in welchem Zusammenhang diese Aufgabe auftaucht, damit man gezielt schauen kann, mit welchen Mitteln die Aufgabe gelöst werden soll(te) oder kann.

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Vielleicht ist es sinnvoll, in Zukunft mit anzugeben, in welchem Zusammenhang diese Aufgabe auftaucht, damit man gezielt schauen kann, mit welchen Mitteln die Aufgabe gelöst werden soll(te) oder kann.

Nix Neues. Ich schrieb als Kommentar

Wobei die Frage und das Niveau, auf dem die Frage beantwortet werden soll, durchaus etwas Interpretationsspielraum lassen.

Die Aufgabe könnte ein Fünftklässler sicher beantworten, wenn auch nicht so exakt wie ein Abiturient, der das auf ein paar nicht messbare Nachkommastellen genau angeben kann.