Hat jemand eine Idee, wie man dieses trigonometrisches Verhältnis umgehen kann?

Question

Aufgabe:

Eigenmann, Teil 1, Aufgabe 135

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.3.135, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 20.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösung mit dem Tangens eines Längenverhältnisses im rechtwinkligen Dreieck gemacht.

tanβ = b/a =r/(a+c)

Hat jemand eine Idee, wie man dieses trigonometrisches Verhältnis umgehen kann?

Comments

Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

[spoiler]

\(\displaystyle 45 \, \text{cm} \)

[/spoiler]

(eingangs zitiertes Werk, S. 57)

---

Warum willst du das tun? β ist doch schnell ermittelt und damit auch α.

Denke auch an den 4-Streckensatz!

---

β ist doch schnell ermittelt und damit auch α.

Soviel zum Thema "ohne Taschenrechner".

---

Soviel zum Thema "ohne Taschenrechner".

Das muss ich überlesen haben. Tut mir leid.

Answer 1

Es geht doch direkt über die Ähnlichkeit der beiden rechtwinkligen Dreiecke:

x:(48+2r)=a:48, wobei a nach Pythagoras die Länge 20 hat.

Zu den beiden Dreiecken gibt es noch ein drittes ähnliches Dreieck mit den Katheten r und a+c, also r und 72.

Aus r:72=a:48 (und a=20) folgt r=30.

Setzt man r=30 und a=20 in die erste Verhältnisgleichung ein erhält man

x:108=20:48.

Das sind im Prinzip die selben Verhältnisse, nur wird zu ihrer Aufstellung der Tangens nicht benötigt