Hat jemand eine Idee, wie man dieses trigonometrisches Verhältnis umgehen kann?

Question

Aufgabe:

Eigenmann, Teil 1, Aufgabe 135

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.3.135, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 20.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösung mit dem Tangens eines Längenverhältnisses im rechtwinkligen Dreieck gemacht.

tanβ = b/a =r/(a+c)

Hat jemand eine Idee, wie man dieses trigonometrisches Verhältnis umgehen kann?

Comments

Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

[spoiler]

\(\displaystyle 45 \, \text{cm} \)

[/spoiler]

(eingangs zitiertes Werk, S. 57)

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Warum willst du das tun? β ist doch schnell ermittelt und damit auch α.

Denke auch an den 4-Streckensatz!

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β ist doch schnell ermittelt und damit auch α.

Soviel zum Thema "ohne Taschenrechner".

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Soviel zum Thema "ohne Taschenrechner".

Das muss ich überlesen haben. Tut mir leid.

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Die Aufgabe steht in dem Teil der Eigenmann-Broschüre, wo er "ohne Taschenrechner" verlangt und es um "Ähnlichkeit, Proportionalität, Formel des Heron" geht.

Answer 1

Es geht doch direkt über die Ähnlichkeit der beiden rechtwinkligen Dreiecke:

x:(48+2r)=a:48, wobei a nach Pythagoras die Länge 20 hat.

Zu den beiden Dreiecken gibt es noch ein drittes ähnliches Dreieck mit den Katheten r und a+c, also r und 72.

Aus r:72=a:48 (und a=20) folgt r=30.

Setzt man r=30 und a=20 in die erste Verhältnisgleichung ein erhält man

x:108=20:48.

Das sind im Prinzip die selben Verhältnisse, nur wird zu ihrer Aufstellung der Tangens nicht benötigt

Comments

Ihr habt mich nicht überzeugt.

Wieso das strenge Verbot "ohne Taschenrechner" !!!, wenn doch garnicht gerechnet, sondern nur bezeichnet wird?

Wieso ist es oportun, das Verhältnis zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks als eine trigonometrische Fkt. des dazugehörenden Winkels zu bezeichnen?

Meine Angabe: tanβ = b/a = r/(a+c)

Eure Verhälnisangaben:
DE/AE = 20/52 = cosα
MP/AM = 20/52 = cosα

x/(48+2r) = a/48 = tanα   (kann auch als Strahlensatz-Anwendung gesehen werden)
r/72 = a/48 = tanα

M.E. fördert das die Übersichtlichkeit.

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Den Strahlensatz verstehen auch Leute, die weder Pythagoras noch Trigonometrie hatten. Weil der Strahlensatz vor den anderen Themen in der Schule behandelt wird . D.h. jemand, der nur den Strahlensatz kann, den würden evtl. die trigonometrischen Funktionen nur irritieren.

Wenn es für dich übersichtlicher ist, kannst du sie ja dazu schreiben.

Answer 2

Für Leute, die den Satz des Pythagoras mögen:

48^2 + a^2 = 52^2 → a = 20 cm

(52 + a)^2 + r^2 = (48 + r)^2 → r = 30 cm

(48 + 2 * r)^2 + x^2 = (52 + a + x)^2 → x = 45 cm

Comments

Für Leute, die den Satz des Pythagoras mögen:

Die anderen Lösungen verwenden doch auch den Satz des Pythagoras.

Wo sollte denn sonst der EXAKTE Wert a=20 cm herkommen?

a= 42cm*cos(arcsin(48/52)) ist kaum eine vernünftige Alternative.

Tatsächlich OHNE Satz des Pythagoras könnte (allerdings sehr aufwändig) es so gehen:

Die beiden rechtwinkligen Drachenvierecke sind ähnlich mit x:r = r:a, also

r²=ax.

Die zweite Beziehung zwischen a und r liefert der Sekanten-Tangentensatz:

(52 cm + a)²= 48cm(48cm + 2r).

Dann haben wir noch die Dreiecksähnlichkeit

a:48 cm =x:(48cm + 2r).

Das sind drei Gleichungen mit 3 Unbekannten.

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Ich habe nicht gesagt, dass andere ihn nicht verwendet haben. Ich habe ihn nur für Leute, die den Satz mögen, eben 3(!) Mal verwendet.