Wie lang darf die Platte maximal sein, damit sie "rumpasst"?

Question

Aufgabe:

Eine Holzplatte (Dicke = 0) soll im Flur um eine Ecke (90°) transportiert werden. Die Flur"schenkel" haben die Breiten b₁ = 1 m und b₂ = 2 m. Wie lang darf die Platte maximal sein, damit sie "rumpasst"?

Problem/Ansatz:

Zeichnung, Strahlensätze, Satz des Pythagoras, Extremwertbestimmung - 1. Ableitung

Comments

Hast Du noch gar nichts gemacht? Fang mal mit einer Zeichnung an (bitte hochladen).

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Man findet dazu Material unter dem Stichwort "Leiter-um-die-Ecke-Problem".

Scheinbar gibt es auch Leitern der Dicke null (welche man trotzdem nicht biegen kann).

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@döschwo: Wieso änderst du eigentlich immer nur unnötige Dinge und lässt so offensichtliche Fehler wie Strahensätze und Pythagors stehen?

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Guten Morgen Apfelmann. Hatte die beiden von Dir genannten Tippfehler überlesen und deshalb erst später korrigiert. "Immer" ist manchmal unzutreffend. Generell korrigiere ich eher Darstellungsfehler in der Aufgabenstellung, damit lesefreundlicher, und belasse den Text, der dem Fragesteller zuzuordnen ist.

Answer 1

Ich habe da mal zwei Strecken mit x bzw. y bezeichnet.

Da die beiden Dreiecke ähnlich sind (oder wegen des Strahlensatzes) gilt y:2 = 1 : x

bzw. y= 2/x.

Die rote Strecke setzt sich also aus zwei Teilstrecken zusammen, deren Längen

\( \sqrt{x^2+1} \) und \( \sqrt{2^2+\frac{4}{x^2}} \) sind.

Finde dasjenige x, für die die Summe der beiden Teillängen minimal wird

und berechne mit diesem x die Länge der roten Strecke.

Alternative:

Die rote Strecke hat die Länge 2/sin(α) + 1/cos(α).

Finde dasjenige α, für das dieser Term minimal wird
und berechne mit diesem α die Länge der roten Strecke.

Answer 2

Nach dem Bild von abakus gilt

y/2 = 1/x --> y = 2/x

Und damit die für die Länge der roten Strecke zum Quadrat

L^2 = (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = (x + 2)^2 + (2/x + 1)^2 = x^2 + 4·x + 4/x + 4/x^2 + 5

Wenn wir da jetzt die Ableitung gleich null setzen

(L^2)' = 2·x - 4/x^2 - 8/x^3 + 4 = 2·(x + 2)·(x^3 - 2)/x^3 = 0

Erhalte ich die Lösung

x = 2^(1/3)

Setzen wir das ein

L^2 = (2^(1/3))^2 + 4·(2^(1/3)) + 4/(2^(1/3)) + 4/(2^(1/3))^2 + 5 = 3·2^(2/3) + 6·2^(1/3) + 5

L = √(3·2^(2/3) + 6·2^(1/3) + 5) ≈ 4.1619 m

Comments

Andere Möglichkeit

Liegt die Ecke, an der die rote Strecke anliegt, im Ursprung, dann gilt für diese Gerade, auf der diese Strecke liegt, die Funktion

y = m·x

Nun gibt es den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Senkrechten bei x = -1 und damit

y = m·(-1) = - m → S1(- 1 | - m)

Und den Schnittpunkt der Geraden mit der Waagerechten bei y = 2

2 = m·x → x = 2/m → S2(2/m | 2)

Damit gilt für die Länge der roten Strecke zum Quadrat

L^2 = (2/m + 1)^2 + (2 + m)^2

Ah. Die Formel sieht ja nun fast genauso aus wie die oben.

D.h. der Rest wird dann auch so gemacht wie oben.

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Wenn ich Gemini frage, dann bestätigt die KI mein Ergebnis. Gemini kennt allerdings direkt die Lösungsformel

$$L{\max} = \left( b_{1}^{\frac{2}{3}}+b_{2}^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}$$

und hat das mit dieser durch Einsetzen berechnet.

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Eine Skizze mit Geogebra für verschiedene Geraden (in der Skizze nur eine gezeichnet) bestätigt auch das Ergebnis.