Signum / Signatur der Permutationen

Question

 ich sollte bei einer Aufgabe zunähst die fehlende Permutation einer Gleichung herausfinden. Das hab ich geschafft, bloß jetzt muss ich noch die Signatur der folgenden Permutationen bestimmen. Habe mir schon einiges im Internet dazu durchgelesen, verstehe die vorgehensweise aber trotzdem nicht.

die Permutationen sind:

1 2 3 4 5

3 5 2 4 1        ,


1 2 3 4 5

4 5 2 3 1      ,


1 2 3 4 5

4 3 1 5 2 ,


1 2 3 4 5

2 5 4 3 1


Entschuldigung für die schlechte darstellung, hoffe die vier permutationen sind zu erkennen. Danke für die Hilfe!

Comments

verstehe solche Aufgaben auch nicht. Kann mir jemand das an den Beispielen erklären? Wäre sehr nett !!

Answer 1

Es gibt diverse Methoden, die Signatur einer Permutation \(\pi\) der Menge \(\{1,\dots,n\}\) zu bestimmen. Eine davon ist$$\operatorname{sgn}(\pi)=\prod_{1\leq i< j\leq n}\frac{\pi(j)-\pi(i)}{j-i}.$$Z.B. gilt für die erstgenannte Permutation$$\begin{aligned}\operatorname{sgn}(\pi)=&\frac{\pi(2)-\pi(1)}{2-1}\cdot\frac{\pi(3)-\pi(1)}{3-1}\cdot\frac{\pi(4)-\pi(1)}{4-1}\cdot\frac{\pi(5)-\pi(1)}{5-1}\\&\cdot\frac{\pi(3)-\pi(2)}{3-2}\cdot\frac{\pi(4)-\pi(2)}{4-2}\cdot\frac{\pi(5)-\pi(2)}{5-2}\\&\cdot\frac{\pi(4)-\pi(3)}{4-3}\cdot\frac{\pi(5)-\pi(3)}{5-3}\\&\cdot\frac{\pi(5)-\pi(4)}{5-4}\\=&\frac{5-3}{2-1}\cdot\frac{2-3}{3-1}\cdot\frac{4-3}{4-1}\cdot\frac{1-3}{5-1}\\&\cdot\frac{2-5}{3-2}\cdot\frac{4-5}{4-2}\cdot\frac{1-5}{5-2}\\&\cdot\frac{4-2}{4-3}\cdot\frac{1-2}{5-3}\\&\cdot\frac{1-4}{5-4}\\=&-1\end{aligned}$$

Comments

Hallo vielen lieben Dank!  Habe das auf die anderen drei Permutationen angewandt, kannst du mir sagen ob das so stimmt?

2)   = 1

3)  = 1

4)  = 0

Stimmt das? war bei der letzten nicht sicher...

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Für  (2)  und  (3)  habe ich auch jeweils  +1  bekommen. Da immer gilt \(\operatorname{sgn}(\pi)\in\{-1,1\}\), kann  (4)  nicht stimmen. Hier habe ich  -1.