Aufgabe:
Wir definieren \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
$$ f(x):=\left\{\begin{array}{cc} {e^{-1 / x^{2}}} & {\text { für } x \neq 0} \\ {0} & {\text { für } x=0} \end{array}\right. $$
a) Berechnen Sie \( f^{\prime}(x) \) und \( f^{\prime \prime}(x) \) für \( x \neq 0 \)
b) Zeigen Sie: Es gibt ein Polynom \( p_{n} \) vom Grad 3n mit \( f^{(n)}(x)=p_{n}\left(\frac{1}{x}\right) f(x) \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) und alle \( x \neq 0 \)
c) Zeigen Sie, dass \( f \) auch in 0 unendlich oft differenzierbar ist mit \( f^{(n)}(0)=0 \)
$$ \text { für alle } n \in \mathbb{N}_{0} $$
d) Bestimmen Sie alle Punkte, in denen \( f \) ein lokales Maximum oder Minimum hat.
e) Bestimmen Sie das größte Intervall, auf dem \( f \) konvex ist.
Ansatz:
a) Kettenregel (Innere- * äußere- Ableitung):
f ' (X) = e^{-1/x²} * 2/x³
Quotientenregel oder Produktregel mit (2x^-3) für 2/x^3
f " (X) = e^{-1/x} ( 4/x^6 - 6/x^4)
b.) Hierzu bräuchte ich Ansatz....
c.) Dazu müsste ich b.) haben...
d.) f ' (x) = 0 setzen. -> Ist nicht lösbar, also kein Maxima und Minima?
e.) Was konvex ist, ist mir klar, aber wie zeigt und bestimmt man sowas?
