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Betrachten Sie folgende Funktionen:

$$ f ( x ) = \sqrt { 4 - x ^ {2} } $$

$$ f ( x ) = x^3 - 3 x^2 - 4x - 1 $$

Wo in D max (f) ist f(x) streng monoton wachsend bzw. fallend?

Wo in D max (f) ist f(x) konvex bzw. konkav?

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Aufgabe: f(x) = √(4 - x²)

Das ist ein Teil einer Kreisfunktion. Und zwar der obere Halbkreis. Definitionsbereich ist [-2 ; 2].

f '(x) = - x/√(4 - x^2)

Streng monoton steigend wenn f '(x) ≥ 0.

Es kommt uns zur Hilfe, das der Nenner nie Negativ wird.

also für -2 <= x <= 0.

Streng monoton fallend also für 0 <= x <= 2

f ''(x) = - 4/(4 - x^2)^{3/2}

Der Ausdruck ist immer negativ also ist die Funktion konkav.


Aufgabe: f(x) = x³ - 3x² - 4x - 1

f(x) = x^3 - 3·x^2 - 4·x - 1

f '(x) = 3·x^2 - 6·x - 4

f ''(x) = 6·x - 6

Streng monoton steigend für f'(x) > 0

3·x^2 - 6·x - 4 ≥ 0 Wir lösen das mit der abc-Formel
x <= 1 - √21/3 ∨ x ≥ √21/3 + 1
x <= -0.5275252316 ∨ x ≥ 2.527525231

D.h.

Streng monoton fallend für

1 - √21/3 <= x <= √21/3 + 1

Konvex für f ''(x) ≥ 0

6·x - 6 ≥ 0
x ≥ 1

Demzufolge konkav für

x <= 1

von 375 k 🚀

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