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Aufgabe:

Wir definieren \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
$$ f(x):=\left\{\begin{array}{cc} {e^{-1 / x^{2}}} & {\text { für } x \neq 0} \\ {0} & {\text { für } x=0} \end{array}\right. $$

a) Berechnen Sie \( f^{\prime}(x) \) und \( f^{\prime \prime}(x) \) für \( x \neq 0 \)

b) Zeigen Sie: Es gibt ein Polynom \( p_{n} \) vom Grad 3n mit \( f^{(n)}(x)=p_{n}\left(\frac{1}{x}\right) f(x) \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) und alle \( x \neq 0 \)

c) Zeigen Sie, dass \( f \) auch in 0 unendlich oft differenzierbar ist mit \( f^{(n)}(0)=0 \)
$$ \text { für alle } n \in \mathbb{N}_{0} $$

d) Bestimmen Sie alle Punkte, in denen \( f \) ein lokales Maximum oder Minimum hat.

e) Bestimmen Sie das größte Intervall, auf dem \( f \) konvex ist.


Ansatz:

a) Kettenregel (Innere- * äußere- Ableitung):

f ' (X) = e^{-1/x²} * 2/x³

Quotientenregel oder Produktregel mit (2x^-3) für 2/x^3
 f " (X) = e^{-1/x} ( 4/x^6 -  6/x^4)

b.) Hierzu bräuchte ich Ansatz....

c.) Dazu müsste ich b.) haben...

d.) f ' (x) = 0 setzen. -> Ist nicht lösbar, also kein Maxima und Minima?

e.) Was konvex ist, ist mir klar, aber wie zeigt und bestimmt man sowas?

von

1 Antwort

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bei der b hab ich einfach f'(x) / f(x) = p1 (1/x) = 2/ x^3 und f'' (x) / f(x) = (4 / x^6) - (6 / x^4) gerechnet k.a. ob es richtig ist 

von

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