Vektorraum-axiome, Axiome nachweisen: x PLUS y := xy, k MAL x :=x^k. x > 0.

Question

Aufgabe 3

Für \( x, y \in \mathbf{R}^{+}=\{x \in \mathbf{R} x>0\} \) und \( \lambda \in \mathbf{R} \) werden durch
\( x \oplus y=x \cdot y \quad \) und \( \quad \lambda \odot x=x^{\lambda} \)

eine Addition und eine skalare Multiplikation definiert. Zeigen Sie, dass

\((\mathbf{R}^{+},\oplus, \odot) \)

ein Vektorraum ist, indem Sie die Gültigkeit aller Vektorraumaxiome nachweisen.

Wie löse ich am besten die Aufgabe ?

Answer 1

V0  

Zeige: ∀ _{x , y ∈ R+} ∀ _{λ ∈ R} x ⊕ y ∈ R+ und λ ⊗ x = x ^ λ ∈ R+

x, y ∈ R+ => x > 0 und y > 0  => x ⊕ y = x * y > 0 =>  x ⊕ y ∈ R+

x ∈ R+ , λ ∈ R => x > 0  => λ ⊗ x = x ^λ > 0 => λ ⊗ x∈ R+

V1 (Assoziativität)

Zeige: ∀ _{x , y, z ∈ R+}  ( x ⊕ y ) ⊕ z = x ⊕ ( y ⊕ z )

( x ⊕ y ) ⊕ z = ( x * y ) * z = x * ( y * z ) = x ⊕ ( y ⊕ z )

 

V2 (Kommutativität)

Zeige: ∀ _{x , y ∈ R+} x ⊕ y = y ⊕ x

x ⊕ y = x * y = y * x = y ⊕ x

 

V3 (Neutrales Element e):

Zeige: ∃ _{e ∈ R+} ∀ _{x ∈ R+} x ⊕ e = x

x ⊕ e = x

<=> x * e = x

<=> e = 1

Das neutrale Element n ist also n = 1 und dieses ist ein Element von R+

 

V4 (inverses Element):

Zeige: ∀ _{x ∈ R+}∃ _{y ∈ R+}  x ⊕ y = n = 1

x ⊕ y = 1

<=> x * y = 1

<=> y = x ^{- 1}

Das inverse Element zu x ist also x ^{- 1} und dieses ist ein Element von R+

 

V5:

Zeige: ∀ _{x, y ∈ R+}∀ _{λ∈ R} λ  ⊗ ( x ⊕ y ) = ( λ  ⊗ x ) ⊕ ( λ  ⊗ y )

λ  ⊗ ( x ⊕ y ) = λ  ⊗ ( x * y ) =  ( x * y ) ^λ = x ^λ * y ^λ = ( λ  ⊗ x ) ⊕ ( λ  ⊗ y )

 

V6:

Zeige: ∀_{x ∈ R+}∀_{λ,μ ∈ R} ( λ  + μ ) ⊗ x = ( λ  ⊗ x ) ⊕ ( μ ⊗ x )

( λ  + μ ) ⊗ x =  x ^{λ + μ} = x ^λ * x ^μ = ( λ  ⊗ x ) ⊕ ( μ  ⊗ x )

 

V7:

Zeige: ∀_{x ∈ R+}∀_{λ,μ ∈ R} ( λ  * μ ) ⊗ x = λ  ⊗  ( μ ⊗ x )

( λ  * μ ) ⊗ x =  x ^{λ * μ} = ( x ^μ ) ^λ = ( μ ⊗ x ) ^λ = λ  ⊗  ( μ ⊗ x )

 

V8:

Zeige: ∀_{x ∈ R+} 1 ⊗ x = x

1 ⊗ x = x ¹ = x

Answer 2

Na du musst jetzt eben die Gültigkeit aller 8 Vektorraumaxiome beweisen.

Z.B. die Existenz eines neutralen Elements für die Vektoraddition:

Es muss das neutrale Element e existieren, so dass für alle a aus dem Vektorraum gilt: a + e = a, mit definierten Vektoraddition. Also es soll gelten

a + e = a * e = a

Das geht nur, wenn e = 1 ist. Also ist das neutrale Element der Vektoraddition die 1.


und jetzt noch für die anderen 7 Axiome...