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Wie löse ich am besten die Aufgabe 3?

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V0  

Zeige: ∀ x , y ∈ R+λ ∈ R x ⊕ y ∈ R+ und λ ⊗ x = x ^ λ ∈ R+

x, y ∈ R+ => x > 0 und y > 0  => x ⊕ y = x * y > 0 =>  x ⊕ y ∈ R+

x ∈ R+ , λ ∈ R => x > 0  => λ ⊗ x = x λ > 0 => λ ⊗ x∈ R+

V1 (Assoziativität)

Zeige: ∀ x , y, z ∈ R+  ( x ⊕ y ) ⊕ z = x ⊕ ( y ⊕ z )

( x ⊕ y ) ⊕ z = ( x * y ) * z = x * ( y * z ) = x ⊕ ( y ⊕ z )

 

V2 (Kommutativität)

Zeige: ∀ x , y ∈ R+ x ⊕ y = y ⊕ x

x ⊕ y = x * y = y * x = y ⊕ x

 

V3 (Neutrales Element e):

Zeige: ∃ e ∈ R+x ∈ R+ x ⊕ e = x

x ⊕ e = x

<=> x * e = x

<=> e = 1

Das neutrale Element n ist also n = 1 und dieses ist ein Element von R+

 

V4 (inverses Element):

Zeige: ∀ x ∈ R+y ∈ R+  x ⊕ y = n = 1

x ⊕ y = 1

<=> x * y = 1

<=> y = x - 1

Das inverse Element zu x ist also x - 1 und dieses ist ein Element von R+

 

V5:

Zeige: ∀ x, y ∈ R+λ∈ R λ  ⊗ ( x ⊕ y ) = ( λ  ⊗ x ) ⊕ ( λ  ⊗ y )

λ  ⊗ ( x ⊕ y ) = λ  ⊗ ( x * y ) =  ( x * y ) λ = x λ * y λ = ( λ  ⊗ x ) ⊕ ( λ  ⊗ y )

 

V6:

Zeige: ∀x ∈ R+λ,μ ∈ R ( λ  + μ ) ⊗ x = ( λ  ⊗ x ) ⊕ ( μ ⊗ x )

( λ  + μ ) ⊗ x =  x λ + μ = x λ * x μ = ( λ  ⊗ x ) ⊕ ( μ  ⊗ x )

 

V7:

Zeige: ∀x ∈ R+λ,μ ∈ R ( λ  * μ ) ⊗ x = λ  ⊗  ( μ ⊗ x )

( λ  * μ ) ⊗ x =  x λ * μ = ( x μ ) λ = ( μ ⊗ x ) λ = λ  ⊗  ( μ ⊗ x )

 

V8:

Zeige: ∀x ∈ R+ 1 ⊗ x = x

1 ⊗ x = x 1 = x

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Na du musst jetzt eben die Gültigkeit aller 8 Vektorraumaxiome beweisen.

Z.B. die Existenz eines neutralen Elements für die Vektoraddition:

Es muss das neutrale Element e existieren, so dass für alle a aus dem Vektorraum gilt: a + e = a, mit definierten Vektoraddition. Also es soll gelten

a + e = a * e = a

Das geht nur, wenn e = 1 ist. Also ist das neutrale Element der Vektoraddition die 1.


und jetzt noch für die anderen 7 Axiome...
von 4,3 k

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