Ganzrationale Funktion dritten Grades. Hochpunkt N(3|0). Wendepunkt W(0|-4.5). Funktionsterm?

Question

Ich brauche den Ansatz zu einer Prüfungsaufgabe von 1991; Algebra I:
Gegeben ist eine Funktion 3. Grades mit D = ℝ, diese hat eine doppelte NST bei x_1/2 = 3 und den Wendepunkt (0|-9/2).
Aufgabe ist die Bestimmung des Funktionsterms von f. Die doppelte NST ist Hochpunkt N(3|0)





komm grad nicht so richtig vorran und bräuchte mal nen Denkanstoß.. :)

Answer 1

Ich bräuchte mal den Ansazt zu der Prüfungsaufgabe von 1991; Algebra I: geg. Funfktion 3. Grades mit D = R,

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f '(x) = 3·a·x² + 2·b·x + c
f ''(x) = 6·a·x + 2·b

diese hat eine doppelte NST bei x1/2 = 3

f(3) = 0
27·a + 9·b + 3·c + d = 0

f '(3) = 0
27·a + 6·b + c = 0

und Wendepunkt (0|-9/2)

f(0) = -4,5
d = - 9/2

f ''(0) = 0
2·b = 0

aufgabe ist die Bestimmung des Funftionstermes von f die doppelte NST ist Hochpunkt also Punkt N (3|0) komm grad nicht so richtig vorran und bräuchte mal nen Denkanstoß.. :)

Die Lösung des LGS ist

a = - 1/12 ∧ b = 0 ∧ c = 9/4 ∧ d = - 9/2

f(x) = - x³/12 + 9·x/4 - 9/2

Skizze:

Comments

booa.. großartig.. danke.. war schon nah dran.. aber hab mich bei meinem versuch mit einem vorzeichen vertan..

aber wie gebe ich das in GTR ein??

ich habe ja jetzt 4 Funktionen und diese muss ich ja ins EQUA-Menü eingeben.. nur irgendwie mach ich was falsch.. komm nicht auf die Lösung..

bei der 4. Funktion z.B. muss ich doch nur für d und für das Ergebnis der Funktion die -9/2 eingeben, der Rest ist 0 oder??

 

Ich hoffe du/ihr könnt mich inhaltlich verstehen..

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Die Bedingungen für das CAS lauten

 

27·a + 9·b + 3·c + d = 0
27·a + 6·b + c = 0

d = - 9/2
2·b = 0

Da du d und b aber direkt errechnen kannst, gibt es eingesetzt in die beiden ersten Gleichungen ein LGS mit 2 Unbekannten.

Aber wenn ihr ein CAS benutzen dürft ist das ja recht einfach. 

Ich verwende das z.B. Casio Classpad 330.

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hmm.. wir verwenden den casio fx-9750 GII

also mit den letzten 2 gleichungen komm ich nicht so richtig hin...

ich habe das gleichungssystem mit 4 unbekannten gleichungen (und den variablen a,b,c,d,e (anX+bnY+cnZ+dnT=en)) dort gebe ich die 4 gleichungen ein.. aber bei der 3. und 4. gleichung bin ich mir unsicher..

dein ergebnis ist richtig.. aber ich komm da irgendie nicht hin..
gibt es da auch nen anderen weg?? die lösung die unser lehrer uns gegeben hat lautet: -1/12(x³-27x+54) wasb ja das selbe ist wie dein ergebnis.. wie komme ich zu der form??

liebsten dank nochmal :)

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Ich klammer den Hauptnenner aus

f(x) = - x³/12 + 9·x/4 - 9/2

f(x) = - x³/12 + 27/12·x - 54/12

f(x) = -1/12·(x³ + 27·x - 54)

Was deinen Taschenrechner angeht, kenne ich mich mit dem Leider nicht so aus. Da solltest Du mal jemanden mit dem Gleichen Modell fragen oder in der Bedienungsanleitung nachlesen.

Answer 2

Funktion 3. Grad diese hat eine doppelte NST bei $x_1,_2 = 3$ und Wendepunkt W(0|-4,5)

Linearform der kubischen Parabel:

$f(x)=a*(x-3)^2*(x-N)$

$W(0|-4,5)$

$f(0)=a*(0-3)^2*(0-N)=-9a*N=-4,5$ →  $a=\frac{1}{2N}$

$f(x)=\frac{1}{2N}*[(x-3)^2*(x-N)]$

$f´(x)=\frac{1}{2N}*[(2x-6)*(x-N)+(x-3)^2]$

$f´´(x)=\frac{1}{2N}*[(2x-2N)+(2x-6)+(2x-6)]$

$f´´(0)=\frac{1}{2N}*[-2N-6-6]=\frac{1}{2N}*[-2N-12]=0$   →$N=-6$     $a=-\frac{1}{12}$

$f(x)=-\frac{1}{12} *(x-3)^2*(x+6)$