Ganzrationale Funktion 3.Grades berührt die Abszissenachse im Koordinatenursprung und hat im P(3/0) den Anstieg 9

Question

ich schreibe bald meine Mathevorprüfung und habe diese Aufgabe zum üben bekommen.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades berührt die Abszissenachse im Koordinatenursprung und hat im P(3/0) den Anstieg 9

 Wie berechne ich die Funktionsgleichung?

Answer 1

Hi,

Du hast eine Funktion dritten Grades, die Du suchst, brauchst also 4 Bedingungen. Abzulesen sind:


f(0) = 0      (Ursprung)

f'(0) = 0     (Bedingung für Berührpunkt)

f(3) = 0      (P)

f'(3) = 9     (Steigung an P)


Daraus ergibt sich das Gleichungssystem:

d = 0

c = 0

27a + 9b + 3c + d = 0

27a + 6b + c = 9


Und das gelöst führt direkt auf f(x) = x^3-3x^2


Alles klar?


Grüße

Comments

Wie kommst du auf die -3x^2

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Du hast doch nur zwei Gleichungen (denn der Rest ist ohnehin 0).

27a+9b = 0

27a+6b = 9


Aus ersterem:

27a = -9b

-3a = b


in der zweiten Gleichung also:

27a - 18a = 9

9a = 9

a = 1

Damit in -3a = b -> b = -3


Fertisch

Answer 2

 

um eine Funktion 3. Grades

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

aufzustellen, benötigst Du 4 Informationen.

 

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades berührt die Abszissenachse im Koordinatenursprung.

f(0) = 0

f'(0) = 0 | Denn wenn der Graph die Abszissenachse dort nur berührt und nicht schneidet, muss er dort den Anstieg 0 haben.

 

und hat im P(3/0) den Anstieg 9

f(3) = 0

f'(3) = 9

 

Also

f(0) = a*0³ + b*0² + c*0 + d = 0

f'(0) = 3a*0² + 2b*0 + c = 0

f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 0

f'(3) = 3a*3² + 2b*3 + c = 9

a = 1

b = -3

c = 0

d = 0

Die Funktion lautet also

f(x) = x³ - 3x²

 

Besten Gruß