Funktionssynthese: Zur y-Achse symmetrische Funktion 4. Grades hat im Punkt P(0/2) ein Maximum ...

Question

Hallo

Ich habe teilweise nicht verstanden

Vor allem jetzt  dieser Aufgabe

Der Graph einer zu y Achse symmetrischen Funktion 4. Grades hat im Punkt P(0/2) ein Maximum und berührt die Parabel mit der Gleichung: g(x) = x²-4x - 2.  in deren Scheitelpunkt. Berechnen sie den Scheitelpunkt von g und bestimmten sie den Funktionsterm von f

Also ich muss mit dieser Funktion Scheitelpunkt berechnen dann habe ichich noch f(0)=2 , aber was soll man damit machen wie geht das?

 

Answer 1

g(x) = x^2 - 4·x - 2

g'(x) = 2·x - 4 = 0 --> x = 2

g(2) = 2^2 - 4·2 - 2 = -6

f(x) = a·x^4 + b·x^2 + c

f(0) = 2 --> c = 2

f'(0) = 0 --> Sowieso erfüllt

f(2) = -6 --> 16·a + 4·b + c = -6

f'(2) = 0 --> 32·a + 4·b = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 0.5 ∧ b = -4 ∧ c = 2

f(x) = 0.5·x^4 - 4·x^2 + 2

Answer 2

Scheitelpunkt von g:

g '(x) = 2x-4 = 0   →  x_s = 2  →  y_s = g(2) = - 6   →   S(2|-6)

Für die gesuchte Funktion f hast du wegen der Symmetrie den Ansatz:

f(x) = ax⁴ + bx² + c

f '(x) = 4ax³ + 2bx 

und die Bedingungen 

f(0) = 2  →  c = 2

f(2) = 16·a + 4·b + 2 = -6

f '(2) = g '(2) = 32·a + 4·b = 0

wenn du dieses Gleichungssystem löst, erhältst du  a = 1/2 und  b = - 4

f(x) = 1/2 x⁴ - 4x² + 2

Gruß Wolfgang

Answer 3

Der Graph einer zu y Achse symmetrischen Funktion 4. Grades hat im Punkt P(0|2) ein Maximum und berührt die Parabel mit der Gleichung: g(x) = x^2-4x - 2  in deren Scheitelpunkt. Berechnen sie den Scheitelpunkt von g und bestimmen sie den Funktionsterm von f

Scheitelpunkt der Parabel:

g´(x)=2x-4

2x-4=0

x=2     g(2) = 4-8 - 2=-6

S(2|-6) Hier ist nun ein Tiefpunkt von f. Da diese Parabel zur y-Achse symmetrisch ist, ist bei T(-2|-6) ein Tiefpunkt. Ich verschiebe diese beiden Tiefpunkte um 6 Einheiten nach oben. Nun sind auf der x-Achse 2 doppelte Nullstellen.

Weiter nun mit der Nullstellenform der Parabel:

f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2

P(0|2)→P´(0|8)

f(x)=a(0-2)^2(0+2)^2=16a=8

a=0,5

f(x)=0,5(x-2)^2(x+2)^2

Nun um 6 Einheiten nach unten:

p(x)=0,5(x-2)^2(x+2)^2-6

Comments

… S(2|-6) Hier ist nun ein Tiefpunkt von f …

das muß begründet werden.

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g(x) = x^2 - 4·x - 2

ist eine nach oben geöffnete Parabel und damit ist der Scheitelpunkt ein Tiefpunkt. Aber es ist völlig egal, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, weil in der Aufgabe eh nur Scheitelpunkt steht. Also kann man auch besser schreiben das S(2 | -6) der Scheitelpunkt der Parabel ist.

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Es geht um f, nicht um g…

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Es ist auch nicht nachzuweisen das dort f einen Tiefpunkt hat. Das kann man zwar auf dem Bild leicht erkennen, aber eigentlich brauchen dort für einen Berührpunkt nur die Funktionswerte und die ersten Ableitungen von f und g übereinstimmen.

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Das war mein Punkt.

Abgesehen davon dass bei M. die Bezeichnungen im Text und der Skizze durcheinander gehen und ein Polynom 4. Grades als Parabel bezeichnet wird.