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Für zwei Elemente (m1,m2),(n1,n2) ∈ ℕ2 setzen wir:

(m1,m2) (n1,n2) :⇔m1 ≤ n1 und m2 ≤ n2.

a) Zeige, dass eine Ordnungsrelation auf ℕ2  definiert.

b) Bestimme alle Ketten der Länge 4, die in der Teilmenge {1,2} × {1,2,3} von ℕ2 enthalten sind.

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a)

Eine Ordnungsrelation muss jedenfalls transitiv sein. Welche spezielle Art einer Ordnungsrelation vorliegt, hängt dann von den weiteren Eigenschaften ab (z.B. Reflexivität, Antisymmetrie, usw.)

Zu zeigen ist also die Transitivität, also dass gilt:

(a1,a2) (b1,b2) und  (b1,b2 (c1,c2) => (a1,a2) (c1,c2)

Nun

(a1,a2) ≤ (b1,b2) <=> a1 ≤ b1 und a2 ≤ b2

(b1,b2) ≤ (c1,c2) <=> b1 ≤ c1 und b2 ≤ c2

also:

(a1,a2) (b1,b2) und  (b1,b2 (c1,c2)

<=> a1 ≤ b1 und a2 ≤ b2 und b1 ≤ c1 und b2 ≤ c2

<=> a1 ≤ b1 und b1 ≤ c1 und  a2 ≤ b2 und b2 ≤ c2

=> a1 ≤ cund a2 ≤ c2

<=> (a1,a2) (c1,c2)

b)

Die Teilmenge {1,2} × {1,2,3} von ℕist die Menge

{ ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) }

Folgende Ketten der Länge 4 sind in dieser Teilmenge enthalten: 

( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 2, 3 )

( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 2 ) ( 2, 3 )

( 1 , 1 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2, 3 )

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