(2x-1)/(x+1) > 1 mit Fallunterscheidung lösen

Question

Diese Ungleichung würde ich gerne mit Hilfe der Fallunterscheidung lösen.

$$\frac { 2x-1 }{ x+1 } >1$$

Mein erster Fall ist: (x+1)>0 => x>-1 . Das bedeutet ja auch, dass x weiterhin negativ sein kann (-0,5 bspw.). Somit muss ich doch das Vorzeichen umdrehen wenn ich nun die Gleichung auflöse.

Beim anderen Fall (x+1)<0 => x<-1 ist es ja eindeutig, dass x nur negativ ist und sich somit das Vorzeichen umdreht. Wenn ich aber so vorgehe wie beschrieben komme ich nicht auf die richtige Lösung. Bzw. das Vorzeichen ist dann falsch.
Gehe ich davon aus, dass x>-1 nur positiv sein kann, komme ich auf das richtige Ergebnis.
Wo liegt der Fehler?

Grüße

Answer 1

Hi,

ich befürchte Du versteifst Dich ein wenig auf das x.

Beachte, dass eine Multiplikation (oder Division) mit einer negativen Zahl einen Vorzeichenwechsel fordert.

Hier haben wir nur einmal mit dem Nenner zu multiplizieren, müssen also nur den anschauen.

Da gilt es dann eben x+1 ≥ 0 von x+1 < 0 zu unterschieden. Und richtig, damit gilt auch x ≥ -1 bzw. x < -1. Aber das ist schon Unterscheidung genug. Ob x jetzt negativ oder teilweise positiv und teilweise negativ ist, ist insgesamt wurscht ;).

(Die Lösung hattest Du schon? Deswegen verbleibe ich mit Erlärung ;))

Grüße

Comments

Ich denke ich kann auch für Brucybabe sprechen: Gerne :).

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Wie gehe ich eigentlich mit einer Ungleichung bei der ich eine Fallunterscheidung durchführen muss um, wenn diese nach dem Auflösen mehr als 1x enthält?


Zum Beispiel: (1-x) (x^2 - x -6) < 0 möchte ich durch Fallunterscheidung lösen.

1.) Fall

(1-x) > 0 => x > 1

(1-x) (x^2 - x -6) < 0 I :(1-x)

(x^2 - x -6) < 0

Nun kann ich ja hin und her rechnen wie ich will, am Ende bleibt einmal x^2 und einmal x stehen.

Diesen Fall hatte ich bis jetzt noch nie bei einer Ungleichung. Höchstens x^2 dann habe ich einfach eine weitere Fallunterscheidung gemacht. also einmal +-√ gezogen.

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Wenn Du ein "Nullstellenproblem" hast, dann würde ich Dir empfehlen die Nullstellen zu suchen und dann anzugeben (mittels Punktprobe), welcher Bereich in Frage kommt.

Also bestimme die Nullstellen. Das sind

x₁ = -2

x₂ = 1

x₃ = 3

 

Für x = 0 haben wir einen negativen Wert. Wir sind hier also kleiner 0. Das gilt folglich für das ganze Intervall x ∈ (-2;1). Noch eine Punktprobe mit 4 liefert ebenfalls einen Wert < 0, also x > 3.

(Wenn man das ein wenig gemacht hat, reicht hier eine Probe aus, da die anderen Intervalle immer abwechselnd ein Vorzeichen tragen, da keine doppelte Nullstelle ;) )

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(1-x)(x^2-x-6) < 0

(1-x)(x+2)(x-3) < 0

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Das ist richtig.

Und nun wisse, dass nur an der Nullstelle sich das Vorzeichen ändern kann. Und wir suchen ja Werte mit negativen Vorzeichen. Siehe oben.

Answer 2

 

Fall 1: x + 1 > 0 => x > -1

Beide Seiten mit (x + 1) multiplizieren ergibt

2x - 1 > x + 1 | - x + 1

x > 2

 

Fall 2: x + 1 < 0 => x < -1

Beide Seiten mit (x + 1) multiplizieren ergibt

2x - 1 < x + 1 | - x + 1

x < 2

 

Somit gilt:

L = {x | x < -1 V x > 2}

was Wolfram Alpha bestätigt:

Besten Gruß