Lineare Gleichungssysteme: Allgemeine Fragen

Question

Nochmals ich ;)

Habe mal ein paar Fragen zu Linearen Gleichugnssystemen.

1. Was versteht man unter Determinantenverfahren/Cramer-regel?

2. Wie löse ich Gleichungssysteme mit Parameter?

3. Wann haben Gleichungssysteme mehrere, keine, unendliche Lösungen?

LG

Simon

Answer 1

Hi,

 

also ich kann jetzt nicht eine ganze Vorlesung über Lineare Algebra I hinschreiben, deshalb etwas kürzer.

a) Unter der Cramerschen Regel versteht man ein Lösungsverfahren für linearen Gleichung der Form Ax=b für den Fall, dass es eine eindeutige Lösung gibt. Wenn es eine eindeutige Lösung gibt, gilt $$ det(A)\ne0 $$ Die Lösungsformel lautet dann $$ x_i=\frac{1}{det(A)}\sum_{k=1}^{n}A_{ij}*b_j $$ Daran sieht man auch, das die Forderung $$ det(A)\ne 0 $$ notwendig ist. Da in der Lösungsformel det(A) vorkommt, erklärt sich auch der Name Determinatenverfahren.
b) und c) Hier gibt es eigentlich keinen Unterschied. Man bestimmt den Rang der Matrix A und den Rang der erweiterten Matrix (A|b). Das lässt sich bewerkstelligen mit elementaren Zeilenumformungen. D.h. durch vertauschen von Zeilen, durch addieren von Zeilen und durch multiplizieren von Zeilen mit Skalaren ungleich Null.
Dadurch lässt sich die erweiterte Matrix (A|b) auf Zeilenstufen bringen. Daran kann man jetzt ablesen ob das Gleichungssystem eindeutig, mehrdeutig oder gar nicht lösbar ist. Ist der Rang(A)=n gibt es genau eine Lösung. Entsteht nach den Zeilenumformungen eine Matrix bei der links eine Nullzeile steht und rechts ein Wert ungleich Null, dann gibt es keine Lösung. Sind nach der Umformung auf der linken und auf der rechten Seite Zeilen entstanden, wo Nullen stehen, gibt es unendlich viele Lösungen.
Den Fall, das es mehrere endliche viele Lösungen gibt, gibt es nicht.

Als Beispiel soll folgendes Gleichungssystem dienen

x+y=1
2x+2y=2

man sieht sofort, das die Zeilen linear abhängig sind und die Lösungen y=1-x lauten. Für x kann man jetzt jeden reellen Wert einsetzen und deswegen gibt es unendlich viele Lösungen.
Soviel in Kürze. Hier noch ein Link zu allem.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem

Comments

Was ist denn \(A_{ij}\)?

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Hi,

das i,j-te Element der Matrix A.

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ich kenne die Cramersche Regel so:$$x_i=\frac1{\det A}\cdot\det\left(a^1,\dots,a^{i-1},b,a^{i+1},\dots,a^n\right),$$wobei \(a^k\) die Spaltenvektoren von \(A\) bezeichnen.

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Hi,

sorry muss mich korrigieren, es gilt

$$ A_{ij}=\left|\begin {matrix} a_{11} & . & . & . & a_{1n} \\ . & . & . & . & . \\ . &  . & . & . & . \\  0 & . & 1 & . & 0 \\  . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ a_{n1} & . & . & . & a_{nn} \\\end {matrix}\right| $$

wobei die 1 an der i, j-ten Stelle steht. Die Betragsstriche stehen für die Determinate.