Mittelwertsatz der Integralrechnung - uneigentliche Integrale

Question

Solle die Existenz eines uneigentlichen Integrals beweisen. Bin mir nun allerdings nicht sicher, ob ich den Mittelwertsatz der Integralrechnung auch bei uneigentlichen Integralen (lim f(ξ)∫...dx) anwenden darf.



 

Olli

Comments

_c∫^∞ cos(x)/x

 

Ich hoffe, der setzt das sinnvoll um...kenne mich hier noch nicht wirklich aus...

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$$ \int_{c}^{∞} cos(x)/x  $$

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und das c>0?

Dann bilden die Stücke oberhalb und unterhalb der x-Achse von links nach rechts eine alternierende Nullfolge. D.h. die Folge konvergiert und das Integral existiert.

Anm: Vergiss dx nicht.

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Jo, c > 0

Mit Folge meinst du die Folge der Funktionswerte?!

Wenn die konvergiert, dann existiert das Integral?....Das schwebte mir zwar im Kopf, hatte aber keinen Satz aus der Vorlesung, der das legitimiert hätte -.-

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Mit Folge meinst du die Folge der Funktionswerte?!

Nein: Die Folge der Flächeninhalte der Flächenstücke, wenn man von nπ nach (n+1)π integriert.

'Alternierende Reihen' kommen bei Folgen und Reihen als Konvergenzkriterium vor.

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Hattest du geschrieben...tut mir Leid, bin grad nicht so aufnahmefähig.

Reicht das formal? Ich kann mir das alles ja ganz gut vorstellen, hab aber nur wenig Ahnung davon, das formal zu Papier zu bringen.

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Hi,

das reicht natürlich nicht formal. Man kann es z.B. mit partieller Integration versuchen.

Ich setzte mal c>0 voraus. Dann kann man wie folgt rechnen $$ \int_{c}^{t}\frac{cos(x)}{x}dx=\left[\frac{sin(x)}{x}\right]_c^t+\int_c^t\frac{sin(x)}{x^2}dx $$ Das ergibt sich durch partielle Integration. Also gilt $$\int_{c}^{t}\frac{cos(x)}{x}dx=\frac{sin(t)}{t}-\frac{sin(c)}{c}+\int_c^t\frac{sin(x)}{x^2}dx $$Daraus folgt $$\left|\int_{c}^{t}\frac{cos(x)}{x}dx  \right|\le\left|\frac{1}{t}\right|+\frac{sin(c)}{c}+\int_c^t\frac{1}{x^2}dx $$ Es gilt $$ \int_c^t\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{t}+\frac{1}{c} $$ Jetzt macht man den Grenzübergang für t gegen unendlich und man erhält $$ \left|\int_{c}^{\infty}\frac{cos(x)}{x}dx  \right|\le \frac{sin(c)}{c}+\frac{1}{c} $$ Und damit konvergiert das Integral. Den Grezübergang kann man machen, weil jeder einzelne Grenzwert existiert.

Du siehst, es ist ein bisschen mehr nötig als nur ein paar schöne Sätze.

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Super danke!

Partiell integriert hatte ich, wusste aber nichts damit anzufangen. Jetzt habe ich mal gesehen, wie man an so eine Aufgabe rangehen kann.

Der Schritt von $$ \int_{c}^{t} \frac{sin(x)}{x^2}dx $$ zu $$ \int_{c}^{t} \frac{1}{x^2}dx $$ ist mir noch nicht ganz klar, aber das kann ich mir vielleicht selber zusammenbasteln :)

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Ok, Moment:

Es gilt, dass jedes $$ f \in C_{0}([a,b]) $$ integrierbar ist?!
Weiterhin gilt für f,g integrierbar: $$ f \leq g \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x)dx \leq \int_{a}^{b} g(x)dx $$

Für $$ \int_{c}^{t} \frac{cos(x)}{x}dx $$ mit $$ \int_{c}^{t} \frac{1}{x}dx $$

wäre diese Abschätzung nicht sinnvoll, da gilt $$ t \rightarrow \infty \Rightarrow ln(t) \rightarrow \infty $$

Liege ich da richtig?

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*Mit $$ a \leq b $$

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Hi,

Ich hatte ja das Integral zum Betrag genommen und dann die Dreiecksungleichung angewendet. $$ \text { Das Integral } \quad  \left| \int_c^t \frac{sin(x)}{x^2}dx \right| \text { habe ich abgeschätzt durch } \left|\int_c^t \frac{1}{x^2}dx \right| $$ weil der Betrag des Sinus durch 1 nach oben beschränkt ist. Da $$ \frac{1}{x^2}>0 $$ ist, können die Betragsstriche entfallen.

Ist das jetzt verständlich?

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Hi,

nein das ist nicht zielführend. Der Logarithmus konvergiert ja gegen unendlich füt t gegen unendlich. Um die Konvergenz zu zeigen, muss die obere Grenze füt t gegen unendlich endlich sein.

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Also habe ich Recht?!  Das Integral darf ich auf Grund des oben genannten Kriteriums abschätzen. Dürfte ich für die Cosinus-Version auch, bringt mir allerdings nichts, da der ln gegen unendlich läuft. ...Damit wir nicht aneinander vorbei reden:

Es gilt für a≤b:
$$ \ f \leq g \Rightarrow  \int_{a}^{b}f(x) dx \leq \int_{a}^{b}g(x) dx \Rightarrow
\vert \int_{c}^{t}\frac{sin(x)}{x^2}dx \vert \leq \int_{c}^{t}\vert\frac{1}{x^2}\vert dx $$

Zwar gilt auch:
$$ \vert \int_{c}^{t}\frac{cos(x)}{x}dx \vert \leq \int_{c}^{t}\vert\frac{1}{x}\vert dx $$

Doch bringt uns

$$ \int_{c}^{t} \vert \frac{1}{x} \vert dx = [ ln(x) ]_{c}^{t} $$

nicht weiter, da gilt:

$$ lim_{t \rightarrow \infty} ln(t) - ln(c) = \infty $$

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Hi,

genau. Man kommt nur mit partieller Integration weiter.

Answer 1

Hi,

Nehme mal als Beispiel das folgende Integral $$ \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx $$ Jetzt ersetzt Du die obere Grenze durch den endlichen Wert a und lässt diesen gegen unendlich gehen. Auf das Integral mit dem endlichen Wert kannst Du den Mittelwertsatz anwenden $$ \int_{1}^a\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{\alpha} \text { mit } \alpha\in[0,a] $$ $$ \text {Wenn Du jetzt den Grenzübergang vollziehst, weist Du aber nicht wie sich } \alpha \text { verhält. } $$ $$ \alpha \text { wird nicht gegen unendlich gehen und damit das Integral Null werden} $$ aber man weiss auch nicht ob es gegen 1 geht und das Integral damit 1 wird.  Was ich sagen will ist, man kann das machen aber es bringt vielleicht nichts. Übrigens, hier wird das Integral 1.

Comments

Es bringt einem für das Ergebnis des Integrals nicht viel. Aber es lässt sich daraus schließen, dass das Integral existiert?

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Hi,

kann ich so nicht sagen. Poste doch mal Deine konkrete Aufgabe, dann können wir mal schauen wie man daran geht.

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So, jetzt nochmal hier:

$$ \int_{c}^{∞} \frac{cos(x)}{x}dx \ mit \ c>0 $$

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Ebenfalls nochmal:

Dann bilden die Stücke oberhalb und unterhalb der x-Achse von links nach rechts eine alternierende Nullfolge. D.h. die Folge konvergiert und das Integral existiert.

Anm: Vergiss dx nicht.

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Wie wärs mit partieller Integration$$\int_c^x \frac{\cos t}t\mathrm dt=\frac{\sin t}t\bigg\vert_c^x+\int_c^x\frac{\sin t}{t^2}\mathrm dt$$und der Abschätzung$$\left\vert\frac{\sin t}{t^2}\right\vert<\frac1{t^2}.$$