Versuch mal folgendes nachzuvollziehen:
$$\sum _{ i=1 }^{ m }{ \sum _{ j=1 }^{ n }{ (i+j^{ 2 }) } }$$Die zweite Summe kann in zwei Teilsummen zerlegt werden:$$=\sum _{ i=1 }^{ m }{ \left( \sum _{ j=1 }^{ n }{ i } +\sum _{ j=1 }^{ n }{ j^{ 2 } } \right) }$$In der ersten der beiden Teilsummen ist der Summand i unabhängig von der Laufvariablen j, der Wert der Summe ist daher einfach n * i . Die zweite Teilsumme ist die Summe der ersten n Quadratzahlen, für die es eine Formel gibt (siehe nächste Zeile):$$=\sum _{ i=1 }^{ m }{ \left( n*i+\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } \right) }$$Die Summe kann wieder in zwei Teilsummen zerlegt werden:$$\sum _{ i=1 }^{ m }{ n*i } +\sum _{ i=1 }^{ m }{ \left( \frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } \right) }$$Der konstante Faktor n der ersten Summe kann vor die Summe gezogen werden:$$=n\sum _{ i=1 }^{ m }{ i } +\sum _{ i=1 }^{ m }{ \left( \frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 } \right) }$$Die erste Summe ist die Summe der ersten m natürlichen Zahlen, für die es eine Formel gibt (siehe nächste Zeile). In der zweiten Summe taucht die Laufvariable i im Summanden nicht auf, diese Summe ist somit einfach gleich m * Summand:$$=n*\frac { 1 }{ 2 }*m*(m+1)+m\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 }$$Nun muss man noch ein bisschen herumrechnen:$$=\frac { 1 }{ 6 } (3*n*m*(m+1)+mn(n+1)(2n+1))$$$$=\frac { 1 }{ 6 } (3nm^{ 2 }+3nm+2m{ n }^{ 3 }+3m{ n }^{ 2 }+mn)$$$$=\frac { 1 }{ 6 } (3m^{ 2 }n+4mn+2m{ n }^{ 3 }+3m{ n }^{ 2 })$$und erhält schließlich:$$=\frac { 1 }{ 6 } m*n*(3m+4+2{ n }^{ 2 }+3{ n })$$
