Wie berechnet man diese Doppelsumme?

Question

Es sei
\( x_{i}: 2,3,4,1,5,2,3,-1,4,2 \)
\( y_{i}: 4,3,6,-2,1,5,3,-1,4,7 \)

\( \sum \limits_{i=1}^{10} \sum \limits_{j=1 \atop i \neq j}^{10} x_{i} y_{j} \)

Problem/Ansatz

Ich habe jetzt x1*y2+ x1 * y3... bis x10 * y9 gerechnet und komme fast auf das richtige Ergebnis. Deswegen die Frage ob mein Ansatz stimmt, ich mich einfach nur verrechnet habe und ob es vielleicht auch einen schnelleren Lösungsweg gibt. Danke.

Answer 1

\(\begin{aligned} \sum\limits _{i=1}^{10}\sum\limits _{{j=1\atop i\neq j}}^{10}x_{i}y_{j} & =\sum\limits _{i=1}^{10}\left(\sum\limits _{j=1}^{10}x_{i}y_{j}-x_{i}y_{i}\right)\\ & =\sum\limits _{i=1}^{10}\sum\limits _{j=1}^{10}x_{i}y_{j}-\sum\limits _{i=1}^{10}x_{i}y_{i}\\ & =\sum\limits _{i=1}^{10}x_{i}\sum\limits _{j=1}^{10}y_{j}-\sum\limits _{i=1}^{10}x_{i}y_{i}\\ & =\sum\limits _{i=1}^{10}x_{i}\cdot30-\sum\limits _{i=1}^{10}x_{i}y_{i}\\ & =30\sum\limits _{i=1}^{10}x_{i}-\sum\limits _{i=1}^{10}x_{i}y_{i}\\ & =30\cdot25-\sum\limits _{i=1}^{10}x_{i}y_{i} \end{aligned}\)