Hat diese Aufgabe 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten? Wenn ja dann kann man das nicht mit dem Taschenrechner rechnen?
1. Aufgabe:
Eine Parabel 3. Ordnung hat in P (1|4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in Q (0|2) ihren Wendepunkt.
2. Allgemeiner Ansatz:
\( f(x)=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} \)
3. Ableitungen
\( f^{\prime}(x)=3 a_{3} x^{2}+2 a_{2} x+a_{1} \)
\( f^{\prime \prime}(x)=6 a_{3} x+2 a_{2} \)
4. Bedingungen:
a) \( P(1 | 4) \quad \Rightarrow f(1)=4 \quad \Rightarrow f(1)=a_{3} \cdot 1+a_{2} \cdot 1+a_{1} \cdot 1+a_{0}=4 \)
b) \( x \) -Achse \( \quad \Rightarrow f^{\prime}(1)=0 \quad \Rightarrow f^{\prime}(1)=3 a_{3} \cdot 1+2 a_{2}\cdot 1+a_{1}=0 \)
c) \( \mathrm{P}(0 | 2) \quad \Rightarrow f(0)=2 \quad \Rightarrow \quad f(0)=a_{3} \cdot 0^{3}+a_{2} \cdot 0^{2} \cdot a_{1} \cdot 0+a_{0}=2 \quad \Rightarrow \quad a_{0}=2 \)
d) WP bei \( x=0 \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=0 \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=6 a_{3} \cdot 0+2 \cdot a_{2}=0 \quad \Rightarrow \quad {a_{2}=0} \)
5. Gleichungssystem
I\( \quad a_{3}+a_{1}=2 \)
II \( \quad 3 a_{3}+a_{1}=0 \)
\( a_{3}=-1 \quad a_{1}=3 \)
