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Hat diese Aufgabe 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten? Wenn ja dann kann man das nicht mit dem Taschenrechner rechnen?


1. Aufgabe:

Eine Parabel 3. Ordnung hat in P (1|4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in Q (0|2) ihren Wendepunkt.


2. Allgemeiner Ansatz:

\( f(x)=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} \)


3. Ableitungen

\( f^{\prime}(x)=3 a_{3} x^{2}+2 a_{2} x+a_{1} \)

\( f^{\prime \prime}(x)=6 a_{3} x+2 a_{2} \)


4. Bedingungen:

a) \( P(1 | 4) \quad \Rightarrow f(1)=4 \quad \Rightarrow f(1)=a_{3} \cdot 1+a_{2} \cdot 1+a_{1} \cdot 1+a_{0}=4 \)

b) \( x \) -Achse \( \quad \Rightarrow f^{\prime}(1)=0 \quad \Rightarrow f^{\prime}(1)=3 a_{3} \cdot 1+2 a_{2}\cdot 1+a_{1}=0 \)

c) \( \mathrm{P}(0 | 2) \quad \Rightarrow f(0)=2 \quad \Rightarrow \quad f(0)=a_{3} \cdot 0^{3}+a_{2} \cdot 0^{2} \cdot a_{1} \cdot 0+a_{0}=2 \quad \Rightarrow \quad a_{0}=2 \)

d) WP bei \( x=0 \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=0 \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=6 a_{3} \cdot 0+2 \cdot a_{2}=0 \quad \Rightarrow \quad {a_{2}=0} \)


5. Gleichungssystem

I\( \quad a_{3}+a_{1}=2 \)
II \( \quad 3 a_{3}+a_{1}=0 \)
\( a_{3}=-1 \quad a_{1}=3 \)

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Man kann Gleichungssysteme mit 4 Unbekannten mit 'besseren' Taschenrechnern lösen.

Aber dieser System wird ja so einfach, dass sich das Eingeben in der Taschenrechner nicht lohnt.

1 Antwort

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Diese Aufgabe gibt nur ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.

Die anderen Unbekannten ergeben sich ja schon direkt beim Aufstellen der Gleichungen.

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Steckbriefaufgabe

Eine Parabel 3. Ordnung hat in P(1|4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in Q(0|2) ihren Wendepunkt. Bestimme die Funktionsgleichung.

Ansatz

\( f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d \\ f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c \\ f''(x) = 6·a·x + 2·b \)

Bedingungen:

\( f(0)=2 \\ d=2 \)

\( f'(0)=0 \\ 2b=0 \\ b=0 \)

\( f(1)=4 \\ a+b+c+d=4 \\ a+c+2=4 \\ a+c=2 \)

\( f(1)=0 \\ 3 \cdot a+2 b+c=0 \\ 3 \cdot a+c=0 \)

Lineares Gleichungssystem

\( a+c=2 \\ 3·a+c=0 \)

II - I

\( 2 \cdot a = -2 \\ a = -1 \)

\( -1+c=2 \\ c=3 \)

Wir erhalten die Lösung: \( a =-1 ; b=0 ; c=3 ; d=2 \)

\( f(x) = -x^3 + 3x + 2 \)

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