Differentialgleichung über Viren

Question

Aufgabe:

Einer Zellkultur werden kontinuierlich k Viren pro Zeiteinheit hinzugefügt. Die Anzahl der Viren erhöht sich proportional zur Anzahl der vorhandenen Viren (Rate r). Die Viren sind aber empfindlich gegen Lichteinfall. Sie sterben deshalb, wiederum proportional zur Anzahl der Viren, mit der Rate \( 1+\sin (t), \) ensprechend der Tageszeit.

a) Stellen Sie eine Differentialgleichung für die Anzahl \( n \) der Viren auf.

b) Welche Art von Differentialgleichung erhalten Sie (Homogenität, Linearität, Ordnung, Koeffizienten)? Wie würden Sie diese lösen? (Nur das Lösungsverfahren angeben, nicht lösen.)

c) Zusatzaufgabe: Betrachten Sie folgenden Spezialfall: Der Zellkultur werden zu Beginn des Experimentes \( n_{0} \) Viren zugefügt werden und danach keine mehr. Bestimmen Sie für diesen Fall die allgemeine und die spezielle Lösung der Differentialgleichung.

Meine Lösung:

\( \frac{d}{d t} n=e^{k+r}-(1+\sin (t)) \)
1. Ordnung, linear, inhomogen, variable Koeffizienten \( \rightarrow \)Trennung der Variablen

Answer 1

Hi,

ich denke Du musst beide Seiten nur über t integrieren. Also \( n(t)=\int_{}^{}\left[ e^{k+r}-1-sin(t) \right]dt=e^{k+r}t-t+cos(t)+C \) mit einer beliebigen Integrationskonste C

Comments

Okay, da war ich ja schon nah dran. Habe ich b) richtig gelöst? Ich könnte mir als Lösungsverfahren auch den Exponentialansatz vorstellen, Variation der Konstanten ist nicht möglich.

---

Die Gleichung ist ja eigentlich keine richtige DGL, weil Du ja nur integrieren musst um die Lösung zu erhalten. Normalerweise muss in einer DGL die erste Ableitung und die Funktion selber enthalten sein. Man kann die Gleichung aber auch als eine inhomogene lineare DGL 1-ter Ordnung mit konstanten Koeffizieten (Koeffizient ist hier 0) betrachten.