Diese Aufgabe ist für vollst. Induktion eher ungeeignet.
Daher hier eine andere Herangehensweise:
Sei \(N(z)=|z|^2\) die übliche komplexe algebraische Normfunktion.
Dann gilt wegen deren bekannter Multiplikativität:
\(x_n^2+y_n^2=N(z_n)=N(z_1^n)=N(z_1)^n=(x_1^2+y_1^2)^n=(1+7)^n=8^n=2^{3n}\).
Wir haben
\(z_{n+1}=z_n\cdot(1-i\sqrt{7})=(x_n+iy_n)(1-i\sqrt{7})=x_n+y_n\sqrt{7}+i(y_n-x_n\sqrt{7})\).
Hieraus ergeben sich für Real- und Imaginärteil:
\(x_{n+1}=x_n+y_n\sqrt{7}\quad (1)\),
\(y_{n+1}=y_n-x_n\sqrt{7}\quad (2)\).
Multiplikation von (1) mit \(y_n\) und von (2) mit \(x_n\), sowie nachfolgende Subtraktion
der Gleichungen liefert:
\(x_{n+1}y_n-x_ny_{n+1}=(x_n^2+y_n^2)\sqrt{7}=2^{3n}\sqrt{7}\).
