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X und Y sind Zufallsvariablen. Zeigen sie: sind X und Y Poisson verteilt mit Parametern λ beziehungsweise

μ  > 0, dann ist X + Y Poisson verteilt mit Parameter λ + μ.
Als Hinweis ist angegeben:

P(X+Y = n) = ∑ (n über k) k= 0 P( ( X=k) ∩ (Y= n- k)). Binomischen Lehrsatz in Erinnerung rufen.

Kennt sich jemand mit der Poisson Verteilung gut aus und kann mir das in verständlicher Sprache erklären?

danke
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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass X+Y poissonverteilt mit Parameter \lambda_{X}+\lambda_{Y} ist.

Stichworte: poissonverteilung

Aufgabe:



Seien \( X \) und \( Y \) unabhängige Zufallsvariablen, die poissonverteilt mit Parametern \( \lambda_{X} \) und \( \lambda_{Y} \) sind. Zeigen Sie, dass \( X+Y \) poissonverteilt mit Parameter \( \lambda_{X}+\lambda_{Y} \) ist.


gismooo: Bitte Antwort von 2014 studieren.

Ist deine Frage da irgendwie anders?

1 Antwort

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Beste Antwort
Hi,
zuerst muss gesagt werden, dass diese Aussage nur für unabhängige Zufallsvariblen X und Y richtig ist.
Nun zum Beweis, betrachte dazu die diskrete Zufallsvariable Z=X+Y. Die Wahrscheinlichkeit P(Z=z) berechnet sich wie folgt. $$ P(Z=z)=\sum_{x=0}^zP(X=x,X+Y=z)=\sum_{x=0}^zP(X=x,Y=z-x) $$ Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit kann mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit wie folgt geschrieben werden$$ P(X=x,Y=z-x)=P(X=x)\cdot P(Y=z-x|X=x) $$ Nun folgt aufgrund der Unabhängigkeit von X und Y, das gilt $$ P(Y=z-x|X=x)=P(Y=z-x) $$ Zusammengefasst ergibt sich $$ P(Z=z)=\sum_{x=0}^zP(X=x)\cdot P(Y=z-x)=\sum_{x=0}^z \frac {e^{-\lambda_1}\lambda_1^{x}}{x!} \frac {e^{-\lambda_2}\lambda_2^{z-x}}{(z-x)!} $$ $$=\frac{e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{z!}\sum_{x=0}^z \left( \begin{matrix} z \\ x \end{matrix} \right)\lambda_1^x\lambda_2^{z-x}=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \frac{\left( \lambda_1+\lambda_2 \right)^z}{z!} $$ Damit ist Z Poisson verteilt mit Paramter \( \lambda_1+\lambda_2 \)
Avatar von 39 k
Vielen Dank erstmal für so eine ausführliche Erklärung.
So geht man doch jetzt auch mit der Variable Y um, oder?
Hi,

ich versteh nicht genau was Du meinst. Erläutere das doch bitte nochmal.
Ich dachte man muss den Beweis für beide Zufallsvariablen zeigen? Oder hab ich da gerad nen Denkfehler?
Hi,

Du musst zeigen das die Summe zweier Zufallsvariablen die Poissonverteilt sind wieder Possionverteilt ist und das ist gemacht worden. Du musst nicht was für X oder Y beweisen, denn da weisst Du ja wie sie verteilt sind. Zu beweisen gibt es nur was für Z.

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