Ableiten einer e-Funktion

Question

Ich habe folgendes problem:

n(t) = 5000 x (1-e^-0,1 x (t-1980)) + 3990 x e^-1,3 x (t-1980) 

im folgenden soll jeweils die erste und zweite ableitung gebildet werden, jedoch kriege ich dies absolut nicht auf die reihe. 

könnte einer von euch diese aufgabe mit zwischenschritten für mich lösen? wäre echt super :))

liebe grüße!

Answer 1

Ich nehme an, dass die "x" in deiner Gleichung Multiplikationszeichen sein sollen.

Die großen Zahlen sollen nur verwirren, also ersetze sie durch Konstanten:

$$A:=5000$$$$B:=3990$$Dann:$$n(t)=A(1-{ e }^{ -0,1(t-1980) })+B{ e }^{ -1,3(t-1980) }$$$$=A-A{ e }^{ -0,1(t-1980) }+B{ e }^{ -1,3(t-1980) }$$$$=A-A{ e }^{ 198 }{ e }^{ -0,1t }+B{ e }^{ 2574 }{ e }^{ -1,3t }$$$$=>$$$$n'(t)=0-(-0,1A{ e }^{ 198 }{ e }^{ -0,1t })+(-1,3B{ e }^{ 2574 }{ e }^{ -1,3t })$$$$=0,1A{ e }^{ 198 }{ e }^{ -0,1t }-1,3B{ e }^{ 2574 }{ e }^{ -1,3t }$$$$=>$$$$n''(t)=-0,1*0,1A{ e }^{ 198 }{ e }^{ -0,1t }-(-1,3*1,3B{ e }^{ 2574 }{ e }^{ -1,3t })$$$$=-0,1^{ 2 }A{ e }^{ 198 }{ e }^{ -0,1t }+1,3^{ 2 }{ Be }^{ 2574 }{ e }^{ -1,3t }$$

Nun kannst du die Konstanten wieder durch die entsprechenden Zahlen ersetzen und zusammenfassen.