Question

Gesucht sind alle Vektoren x im ℝ^5 die orthogonal zu a=(1,2,3,4,0)^T sind!

Das Skalarprodukt muss demnach ja 0 sein, nur wie gehe ich weiter vor?!  

Answer 1

Du hast schon richtig gesagt, das Skalarprodukt muss Null sein

[1, 2, 3, 4, 0] ⋅ [a, b, c, d, e] = 0
a + 2b + 3c + 4d = 0

Bedingung ist wenigstens eine Variable muss ungleich Null sein.

Das ist nun aber eine Gleichung mit 4 Unbekannten. Dadurch hast Du jetzt 3 Freiheitsgrade. D.h. man kann eine Variable durch die anderen 3 ausdrücken.

a + 2b + 3c + 4d = 0
a = -2b - 3c - 4d

Damit ist unser Vektor jetzt

[-2b-3c-4d , b , c , d , e]

Wenigstens eine der Variablen b bis e muss jetzt ungleich Null sein.

Comments

Soweit gut, aber warum muss nun eine Variable b bis e ungleich 0 sein? Wenn man für alle 0 einsetzt kommt doch auch der Nullvektor raus.

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Der Nullvektor wäre hier die Triviallösung. Die ist aber bei Orthogonalität meiner Meinung nach ausgeschlossen, weil sich kein Winkel zwischen einem Vektor und dem Nullvektor ermitteln lässt.