Eine Matrix A ∈ M(n,n;ℝ) heißt orthogonal, wenn ⟨Av,Aw⟩ = ⟨v,w⟩

Question

Aufgabe:

Eine Matrix A ∈ M(n,n;ℝ) heißt orthogonal, wenn ⟨Av,Aw⟩ = ⟨v,w⟩ (Skalarprodukt) für alle v,w∈V. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender vier Aussagen:

(i) A ist orthogonal.

(ii) A^t = A⁻¹

(iii) Die Spalten von A bilden eine Orthonormalbasis.

(iv) Die Zeilen von A bilden eine Orthonormalbasis.

Problem/Ansatz:

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Comments

Ist Dir / Euch folgende Eigenschaft bekannt:

$$\langle Ax,y \rangle=\langle x,Ay\rangle$$

Wende dies mal auf die Definition von Orthogonalität an

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Servus, hatte ich mir auch überlegt, konnte damit dann am Ende zeugen, dass A^t=A^-1 ist, wegen A^t*A=E...

War mir aber nicht sicher, ob ich das nutzen darf.

Vielen Dank!

Answer 1

Also haben wir für alle \(v,w \in \R^n\):

$$\langle Av,Aw\rangle=\langle A^tAv,w\rangle =\langle v,w \rangle\Rightarrow A^tA=E$$

Den letzten Schluss kann man auch noch begründen:

Wenn \(\langle A^tAv-v,w\rangle\) für alle v,w, dann gilt speziell \(\langle A^tAv-v, A^tAv-v\rangle=0\), also \(A^tAv=v\) für alle v.

Die beiden anderen Aussagen ergeben sich dann direkt aus der Defintion des Matrizenprodukts.