Berechnen der Stammfunktion von x*sin(3x)

Question

ich sitze an folgender Aufgabe, ich soll  die Funktion h(x) = x*sin(3x) integrieren bzw. die Stammfunktion finden. Jedoch komme ich noch nicht wirklich mit der Integration durch Substitution und der partiellen Integration klar .. ich weiß, dass ich f'(x) = sin(3x) setzen muss und g(x) = x woraus folgt f(x) = 3*cos(3x) und g'(x) = 1

In die Formel eingesetzt bekomme ich somit

∫(x*sin(3x)) dx = x*3cos(3x) - ∫1* 3cos(3x)

Doch hier komme ich nun nicht weiter, wie gehe ich weiter vor? Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

... ich weiß, dass ich f ' ( x ) = sin ( 3 x ) setzen muss und g(x) = x woraus
folgt f ( x ) = 3 * cos ( 3 x ) ...

Nicht wirklich. 3 * cos ( 3 x ) ist die Ableitung von sin ( 3 x ), du benötigst jedoch die Stammfunktion.
Also:
f ' ( x ) = sin ( 3 x ) => f ( x ) = ( 1 / 3 ) * ( - cos ( 3 x ) )

Und damit ergibt sich:

∫ ( x * sin ( 3 x ) ) dx = x * ( 1 / 3 ) * ( - cos ( 3 x ) ) - ∫ 1 * ( 1 / 3 ) * ( - cos ( 3 x ) ) dx

= ( - 1 / 3 ) * x * cos ( 3 x ) + ∫ ( 1 / 3 ) *  cos ( 3 x ) dx

= ( - 1 / 3 ) * x * cos ( 3 x ) + ( 1 / 3 ) * ∫ cos ( 3 x ) dx

= ( - 1 / 3 ) * x * cos ( 3 x ) + ( 1 / 3 ) * (1 / 3 ) * sin ( 3 x )  + C

= ( 1 / 9 ) * sin ( 3 x )  - ( 1 / 3 ) * x * cos ( 3 x ) + C

= ( 1 / 9 ) * ( sin ( 3 x )  - 3 * x * cos ( 3 x ) ) + C