Oberflächen Formel für ein Tetraeder? und Wieso

Question

Ich brauche eine Formel für die Oberfläche eines Tetraeders mit der Kantenlänge 4cm Dazu soll ich noch erklären warum.. Könnte 4x axh /2 schon richtig sein?

Answer 1

Steht meistens in der Formelsammlung A₀ = √3*a²

Ein regelmäßiger Tetraeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus vier gleichseitigen, kongruenten Dreiecken gebildet wird.

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreieck

Generell gilt bei Dreiecken die Formel zum Flächeninhalt = 0,5*Grundseite*Höhe

In unserem Fall ist die Grundseite a, aber wie verhält es sich mit der Höhe`?

Dazu fällen wir das Lot von der Spitze des gleichseitigen Dreiecks zur Grundseite a und bekommen 2 kongruente Teildreiecke, die auch noch rechtwinklig sind. Zudem wurde die Grundseite sauber halbiert. Die Hypotenuse ist a und die eine Kathete a/2 und die andere Kathete h.

-> h² + (a/2)² = a² -> h = √(a²  - (a/2)²) = √(a²  - a²/4) = √((4a²  - a²)/4) = √((3a²)/4) = (a/2)*√3

A eines gleichseitigen Dreiecks = 0,5*Grundseite * Höhe = 0,5*a*(a/2)*√3 = 0,25*√3*a²

Wir haben aber 4 Stück davon -> A0 = 4*0,25*√3*a² = √3*a²