Die vollständige Induktion. Stimmt mein Beweisverfahren?

Question

8 ist ein Teiler von 3²ⁿ-1 

n=1 

3^2*1-1=8  ja, das ist durch ein Teilbar :D 

das gleiche soll dann auch für (n+1) gelten, also: 

8 ist ein Teiler von 3²⁽ⁿ⁺¹⁾-1 = 

3²⁽ⁿ⁺¹⁾-1 = 

3²ⁿ⁺²-1 =

3²ⁿ+3²-1 =

9*3²ⁿ-1 = 

8*3²ⁿ-1 = 

und das ist durch 8 Teilbar oder nicht? Hab ich das jetzt bewiesen??  

Comments

Wie kommst du auf den letzten Schritt? Nee, das ist auch nicht durch 8 teilbar. 8*3^{2n} ist durch 8 teilbar, aber 13 nicht.

Versuche mal den folgenden Trick: 9 * 3^{2n} - 1 = (1+8) * 3^{2n} - 1. Und dann ausnutzen, dass du vorausgesetzt hast, dass 3^{2n} - 1 durch 8 teilbar ist. Du kannst das also jetzt für den Beweis ruhig als wahr ansehen. Tue einfach so, als ob wahr wäre, dass 3^{2n} - 1 durch 8 teilbar ist.

Aber den Induktionsschritt hast du schon richtig gemacht. Nach dem Induktionsanfang für n = 1 und der Induktionsvoraussetzung, dass 3^{2n} - 1 durch 8 teilbar ist, musst du nun zeigen, dass 3^{2(n+1)} durch 8 teilbar ist.

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hatte mich da vertippt :)
wie siehts jetzt aus? :)
oder immer noch falsch? :)

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@Thilo, das geht aber nicht. Es ist doch oben 3^{2n} ein Teil eines Produkts und -1 ein davon unabhängiger Summand ;). Weitere Ausführung brauchts.

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Der letzte Schritt stimmt nicht. 9 * 3^{2n} - 1 ist nicht gleich 8 * 3^{2n} - 1

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9 * 3^{2n} - 1 = (1+8) * 3^{2n} - 1 = ( 3^{2n} - 1 ) + 8 * 3^{2n}

Der erste geklammerte Term ist nach Induktionsvoraussetzung durch 8 teilbar und der zweite mit dem Faktor 8 auch. So meinte ich das.

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Ja klar brauchte das etwas weitere Ausführung. Wollte ja nur einen Hinweis geben, keine Lösung ;)

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Hatte sich so komisch angehört. Sry ;).

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@Tholo87: Danke auch für deine Hilfe!! :)

Answer 1

Hi Emre,

 

3²ⁿ⁺²-1 =

3²ⁿ+3²-1 =

 

Ein Tippfehler? Zumindest hast Du danach richtig weitergemacht ;).

 

Wie wagst Du es außerdem aus der 9 eine 8 zu machen in der letzten Zeile? So kann man sich Beweise natürlich besonders einfach machen :P.

 

Deine vorletzte Zeile ist soweit richtig. Gehe wie folgt weiter vor:

9*3²ⁿ-1                |-1 = -9+8

= 9*3²ⁿ-9 + 8

= 9(3^{2n}-1) + 8

 

Der erste Summand ist durch 8 teilbar, da der orangene Faktor durch 8 teilbar ist. Der zweite Summand ist sowieso durch 8 teilbar. Also ist die Summe selbst durch 8 teilbar.

 

Grüße

Comments

Hallo Unknown :) 

na wenigstens ist nicht alles falsch:D 

ohhh hihi war ein fehler:) (war aber bewusst :( ) 

 

das verstehe ich aber nicht: 

9*3²ⁿ-1                |-1 = -9+8

= 9*3²ⁿ-9 + 8

= 9(3²ⁿ-1) + 8 

was du hier gemacht hast? also ja -1 = -9+8 ergibt -1 aber dann??? 

tut mir leid wenn ich viel frage:)

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Ausklammern von 9 ;).

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ohhhh:) 

aber hier könnte man doch auch theoretisch = 9(3²ⁿ-1) + 8 

= -9(3²ⁿ+1)+8 machen oder nicht?

also würde auch gehen oder nicht?? 

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Nein, das ist falsch. Da musst Du dann vor 3^{2n} auch nen negatives Vorzeichen setzen.


Außerdem willst Du das ja gar nicht. Darüber weißt Du ja nichts. Über obiges weißt Du, dass es durch 8 teilbar ist ;).

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ahso okidoki:)
werde in zukunft paar aufgaben dazu machen:)