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Aufgabe:

Gegeben ist die folgende Matrix:
$$ \mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrr} {1} & {-2} & {-2} & {0} \\ {3} & {0} & {-2} & {1} \\ {-3} & {-1} & {2} & {0} \\ {2} & {7} & {1} & {3 / 2} \end{array}\right) $$
(a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix \( \mathbf{A}, \) indem Sie die Laplace-Entwicklung einmal nach der vierten Zeile und einmal nach der vierten Spalte durchführen. Welche Berechnungsvariante erscheint Ihnen effizienter?
(b) Geben Sie (ohne die komplette Rechnung nochmals durchzuführen) an, wie sich der Wert der Determinante verändert, wenn Sie die dritte Zeile mit 5 und anschließend die zweite Spalte mit 2 multiplizieren. Begründen Sie Ihre Aussage ausgehend von der Laplace-Entwicklung.
(c) Geben Sie eine Matrix an, deren Determinante den gleichen Wert wie die Determinante in Aufgabenteil (b) hat, und die sich jedoch von der Matrix A lediglich in den Werten der ersten Zeile unterscheidet.



Wie geht man generell vor? Im Internet habe ich Formeln gefunden, ich weiß aber nicht, ob man die Formeln für diese Aufgabe nutzen kann:

\( |A|=\sum \limits_{j=1}^{3} a_{1 j} \cdot(-1)^{1+j} \cdot D_{1 j} \)

\( |A|=a_{11} \cdot(-1)^{1+1} \cdot D_{11}+a_{12} \cdot(-1)^{1+2} \cdot D_{12}+a_{13} \cdot(-1)^{1+3} \cdot D_{13} \)

\( |A|=\left|\begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right| \quad \rightarrow \quad|A|=\left|\begin{array}{ccc}{+} & {-} & {+} \\ {-} & {+} & {-} \\ {+} & {-} & {+}\end{array}\right| \)

von

1 Antwort

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Beste Antwort
Du hast die richtige Formel. Du kannst entweder nach einer beliebigen Spalte oder Zeile entwickeln. Man wählt eine bei derdie meist mögliche Anzahl an Nullen vorkommt. (denn so fällt dann viel weg). Du hast dann eine Summe von Produkten aus jeweils den Einträgen der ausgewählten Zeile/Spalte und der Restmatrix. Ich zeige es kurz an enem enfachen Bsp.

( 1 0 0 0)   Das seu die Matrix M

(a  b c d)

(e f g  h)

(i  j   k  l)

 
jetzt gilt : det M =  1* (b c d)        - 0* (a c d)   + 0* Matrix -0* Matrix.

                                     ( f g h)                (e g h)

                                     (j k l)                  (i k l)

Die Matritzen in der Summe jeweils (n-1) x (n-1). Im Bsp entwickeln wir nach der ersten Zeile. Also streichen wir diese einfach komplett für die einzelnen Matritzen der Summe. Je nach eintrag der gestrichenen Zeile wird dann die dazugehörige Spalte mitgestrichen.

Ich hoffe es ist einigermasen verständlich. Zum Thema Entwicklungssatz sollte es allerdings auch viele Videos geben wo man sich das etwas genauer anschaun kann.
von

Vielen Dank Gast dh41, 

für deine Hilfe! :-) 

Grüße Mountain_lion

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