Determinante nach Gauß berechnen

Question

Hey ,
ich bin gerade dabei Determinanten zu berechnen, hänge aber an einer Aufgabe fest. Ich bin gestern erst in meinem Lehrbuch darauf gestoßen, dass man Determinanten auch mit dem Gauß-Algorithmus lösen kann (im Unterricht haben wir das bei einer größeren Matrix immer mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz gemacht). Jetzt bin ich auf 'ne Matrix gestoßen, deren Determinante ich mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz problemlos berechnen kann, allerdings finde ich das ziemlich aufwendig.....deswegen hab ichs mit Gauß Versucht, aber irgendetwas mache ich anscheinend falsch. Gegeben ist folgende Matrix:
A=5  0  3  -1        
     3  0  0  4       
    -1  2  4  -2          
     1  0  0   5 

Ich habe jetzt erstmal die erste Zeile durch 5 geteilt, um die Berechnungen der 0en zu vereinfachen (demzufolge muss ich die Determinante (also das Prodikt der Hauptdiagonale mit 5 multiplizieren, damit ich auch det(A) berechnet habe.  Anschließend habe ich ganz normal versucht 0en unter der Hauptdiagonale zu erzeugen (durch Multiplikation einer Zeile x mit dem Vielfachen einer Zeile y, damit ich auch wirklich det(A) berechne.
Aber das ganze Funktioniert bei mir nicht so ganz, weil in der 2. Spalte drei 0en sind und die 2, demzufolge kann ich aus der 2 ja schlecht 'ne Null machen.
Meine Frage jetzt: Versagt an dieser Stelle das Verfahren nach Gauß um die Determinante zu berechnen? (Was ich eigentlich nicht glaube, ich denke eher es liegt an meinen schlechten mathematischen Fähigkeiten) Geht das nur mit dem  Laplace'schen ES? Das Ergebnis ist übrigens 66.
Dankeschön!

Answer 1

vielleicht mal erst 1. und 3. Spalte vertauschen gibt

     3  0  5   -1        
     0  0  3   4       
     4  2  -1  -2          
     0  0   1   5 

dann die 2. mit der 3. Zeile tauschen, gibt

     3  0  5   -1   
     4  2  -1  -2     
     0  0  3   4                
     0  0   1   5

jetzt 4*1. Zeile zu -3 * 2. Zeile addieren

     3  0  5   -1   
     0  -6  17  2     
     0  0   3     4                
     0  0   1   5

und nu 3. Zeile +    -3* 4. Zeile

     3  0  5   -1   
     0  -6  17  2     
     0  0   3     4                
     0  0   0    -11

jetzt also Hauptdiagonale multiplizieren

gibt 594.

Jetzt musst du noch schauen, bei welchen

Zeilenumformungen du Faktoren benutz hast

Das war 2mal die -3 also durch 9 teilen gibt 66.

und weil eine gerade Zahl von Zeilen bzw. Spaltenvertauschungen

passiert ist, stimmt auch das Vorzeichen.

Comments

.....ich habe nicht gewusst dass man in der Situation (also wenn man die Determinante berechnen will) auch Zeilen vertauschen darf. So ist das ganze ja gar nicht soooo schwer :-)

Answer 2

Jetzt bin ich auf 'ne Matrix gestoßen, deren Determinante ich mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz problemlos berechnen kann, allerdings finde ich das ziemlich aufwendig

Was ist daran aufwendig? Hast du nach der zweiten Spalte entwickelt? Da sind ja bis auf eine Zahl nur Nullen. 

In dieser Situation bist du mit dem Gauss sicher nicht schneller.

DET(A) = -2 * DET([5,3,-1;3,0,4;1,0,5]) = 66