Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen

Question

Kann mir jemand bestätigen, ob ich richtig gerechnet  habe? Der Graph muss auf seinen Krümmungsverhalten untersucht werden:

f(x) = 1/12x⁴ + 1/2x³ - 2x² + x

 

Meine Rechnung:

f'(x) = 1/3x³ + 3/2x² - 4x

f''(x) = x² + 3x - 4

f''(x) = 0 ⇒ x² + 3x - 4 = 0

Mit der Formel zur Lösung quadratischer Funktionen ergibt dies:

x1 = 1 und x2 = -4

 

f''(-5) = 6 > 0 ⇒ linkskrümmung

f''(-3) = -4 < 0 ⇒ rechtskrümmung

f''(0) = -4 < 0 ⇒ rechtskrümmung (ich glaube diese Rechnung ist nicht relevant, bin mir aber nicht sicher warum)

f''(2) = 6 > 0 ⇒ linkskrümmung

 

L-R-L- Wechsel mit WP1 (1|-46,67) und WP2 (1|0,42)

 

Für jede Anmerkung auf meine Fehler wäre ich dankbar. Das Thema ist noch ziemlich aktuell bei uns.

Wäre noch schön, wenn jemand kurz erklären könnte, was es mit "notwendig, aber nicht hinreichend" speziell auf diese Aufgabe - erklären könnte.

Answer 1

f(x) = 1/12·x^4 + 1/2·x^3 - 2·x^2 + x

f'(x) = x^3/3 + 3·x^2/2 - 4·x + 1

f''(x) = x^2 + 3·x - 4

Linkskrümmung f''(x) > 0

x^2 + 3·x - 4 > 0
x < -4 ∨ x > 1

Rechtskrümmung f''(x) < 0

x^2 + 3·x - 4 < 0
-4 < x < 1

Wendepunkte

f(-4) = - 140/3 = -46.67

f(1) = - 5/12 = -0.42


Zur Frage Notwendig aber nicht hinreichend. Wenn die 2. Ableitung gleich null wird müssen wir nicht zwangsweise einen Wendepunkt haben. Es könnte auch ein Flachpunkt sein. Untersuche z.b. y = x^5 auf Wendepunkte.

Da wir hier aber einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel haben ist dies immer ein Wendepunkt. Daher braucht man eigentlich nicht die hinreichende zu prüfen. Allerdings bestehen manche Lehrer aus unerfindlichen Gründen immer auf die Untersuchung der hinreichenden Bedingung.