Krümmungsverhalten und Wendestelle von f(x) = x^3-6x^2+11x

Question

Hallo ich muss mir im klaren sein wie ich das krümmungsverhalten und die Wendestelle berechnen muss.Könntet ihr mir bitte anhand dieses Beispiels mal das Krümmungsverhalten bestimmen.?Über eine ausführliche Erklärung würde ich mich freuen.

f(x)=x³-6x²+11x

Answer 1

f(x)=x³-6x²+11x

f ' (x) = 3x^2 - 12x + 11

f '' (x) = 6x - 12

Linkskrümmung f''(x) > 0.

6x - 12 > 0

6x > 12

x> 2

Rechtskrümmung f''(x) < 0

6x - 12 < 0

6x < 12

x < 2

Wendestelle f''(x) = 0

6x - 12 = 0

x = 2 

Illustration: (Du musst etwas rauszoomen) ~plot~x^3-6x^2+11x; x=2 ; ~plot~

Rechts von der roten Linie ist die Kurve nach links gekrümmt. 

Links davon: nach rechts gekrümmt. 

Comments

Danke für deine Hilfe.eine Frage habe ich noch..

Rechtskrümmung

6x - 12 < 0

6x < 12

x < 12

wenn ich für x 2 einsetze ist dass doch 0 also=0..hast du da werte eingesetzt wie z.b 1 und 3?

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Lu meint x < 2 !!   (Tippfehler)

Und:

Bei Monotonie- und Krümmungsintervallen nimmt man die Intervallgrenzen mit.

Also z.B.:  in [ 2 ; ∞ [  linksgekrümmt

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-wolfgang-: Danke. Diese Definition heisst dann, dass die Kurve in der Wendestelle nach rechts und nach links gekrümmt ist. Bist du da sicher?

Ich sehe z.B. hier: http://www.mathebibel.de/kruemmungsverhalten

und http://extremstark.de/Mathematik/Analysis/17%20Kruemmung%20und%20Wendepunkt.pdf

meine Begriffe bestätigt.

gast: Halte dich an die Definitionen in eurem Kurs.

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Also die 2 habe ich auch raus für x..und 2 ist >0 deswegen ist es ja eine linkskrümmung.Warum schreibt man dann für die linkskrümmung x> 2 ? Und für die Rechtskrümmung x<2 ???? Was ist damit gemeint?

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"wenn ich für x 2 einsetze ist dass doch 0 also=0..hast du da werte eingesetzt wie z.b 1 und 3?"

Das kannst du natürlich auch machen. - Man nennt das Punktprobe bei Ungleichungen. 

f ''(x)  0 6x -12

x = 1==>  6 -12 = -6 . Links von x = 2 ist die Krümmung negativ. Daher ist die Kurve links von x = 2 nach rechts gekrümmt. 

x = 3 ==> 18 -12 = 6 . Rechts von x=2 ist die Krümmung positiv. Daher ist die Kurve rechts von x = 2 nach links gekrümmt. 

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 18 -12 = -6 ?? Du meinst 6 sicherlich ? Dann habe ich es verstanden danke 

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Ja. Danke. Ist jetzt korrigiert.