Wie zeige ich, dass a_n konvergiert?

Question

Sei a_n eine Folge, zudem existiert ein q mit 0≤q<1 und c>0, sowie j∈ℕ mit $$|a_{n+1}-a_{n}|≤cq^{n}$$ für n≥j. Wie zeige ich damit, dass die Folge konvergiert?

Comments

cqⁿ ist ja eine Nullfolge für hinreichend große n. Dann gilt, dass der Abstand zweier Folgenglieder ab einem N ∈ℕ kleiner als ein ε>0 ist. Damit wäre dann ja die Konvergenz gezeigt richtig? bleibt also zu beweisen, dass cqⁿ eine Nullfolge ist, richtig?

Answer 1

Hi,

es gilt

$$ |a_{n+2}-a_n|=|a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\le |a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_{n}|\le $$ $$ cq^{n+1}+cq^n $$

Das weiter geführt führt zu
$$ |a_{n+k}-a_n|\le cq^n\sum_{i=0}^{k-1}q^i=cq^n\frac{1-q^k}{1-q} $$ und da \( q \lt 1 \) gilt ist \( a_n \) eine Cauchy-Folge und damit konvergent.