+1 Punkt
242 Aufrufe
Die Folge $$ (a_n) $$  sei definiert durch $$ a_n:=1+(-1)^n $$ . Zeige, dass diese Folge nicht konvergiert.

Nun ja, wenn diese Folge konvergieren sollte, dann müsste es ein Grenzwert existieren. Ich kann ja mal schauen, ob diese Folge ein Grenzwert hat. Nein ich weiß leider nicht...
von 7,1 k

3 Antworten

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Es hilft auch oft, wenn du versuchst, dir mathematische Aussagen, wenn möglich, mal zu veranschaulichen.

Stelle dir so eine \( \epsilon \)-Umgebung mal auf einer Zahlengeraden vor:

a ist nun der Grenzwert deiner Folge. a ist umgeben von \( -\epsilon \) und \( +\epsilon \).

Ganz wichtig ist, dass \( \epsilon \) hier keine bestimmte Zahl ist. Es ist einfach \( \epsilon > 0 \), was bedeutet, dass \( \epsilon = 1324324543543566 \) oder \( \epsilon = 0,0000000000000000000001 \) sein kann. Es darf nur nicht 0 oder negativ sein.

 

Jetzt die Definition:

" Eine Folge konvergiert genau dann, wenn in jeder ε -Umgebung um den Grenzwert fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen."

Das sieht dann in etwa so aus ( die grünen Punkte sind die Werte der Folgenglieder ):

Wenn du die roten Striche bei \(-\epsilon \) und \( +\epsilon \) jetzt immer weiter zusammenziehst, immer näher an das a heran (d.h. Epsilon immer kleiner machst) dann muss immernoch gelten, dass nur endlich viele Punkte ausserhalb dieser Umgebung liegen und der riesige Rest innerhalb. Das kommt doch dem intuitiven Verständnis des Grenzwertes ziemlich nahe, oder?

 

Jetzt überlege mal in deinem Fall, wieviele Punkte liegen außerhalb einer \( \epsilon \)-Umgebung um einen beliebigen Punkt a? Wenn du z.B. a = 5 wählst, liegen unendlich viele 0-en und 2-en außerhalb. Das kann also nicht der Grenzwert sein. Wenn man a = 2 wählt, liegen unendlich viele 0-en außerhalb. Das kann also auch nicht der Grenzwert sein. Wenn man a = 0 wählt, liegen unendlich viele 2-en außerhalb. Das kann auch nicht der Grenzwert sein. Schlussendlich kannst du eben keinen Punkt in einer beliebig kleinen Epsilon-Umgebung wählen, so dass immer nur endlich viele Folgenglieder außerhalb liegen, weil die Folge eben immer zwischen 0 und 2 wechselt.

Also besitzt sie nach obiger Definition keinen Grenzwert.

von 4,3 k
Einfach nur Super erklährt Thilo!!!!

Danke Danke !! :-)
+2 Daumen
Schreib dir doch mal die ersten paar Folgeglieder auf

a1 =

a2 =

a3 =

Und jetzt überlegst du wann eine Folge konvergiert.
von 271 k

Hallo Mathecoach :-)

meinst Du das ungefähr so:

a1= 1+(-1)1

a2= 1+(-1)2

a3= 1+(-1)3

a4= 1+(-1)3

Und ich hab mal auf Wikipedia gelesen:

" Eine Folge konvergiert genau dann, wenn in jeder ε -Umgebung um den Grenzwert fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen."

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn in jeder ε -Umgebung um den Grenzwert fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen.

Richtig.

Konntest du die Folgenwerte

a1 =

a2 =

a3 =

a4 = 

auch noch ausrechnen ? Ich denke das bringt sich weiter. Gerade wenn du dir die obige Definition denn nochmals anschaust und überlegst ob sie erfüllt ist.

Ok :)

also ausrechnen kann ich die eigentlich schon :)

a1= 1+(-1)1 = 0

a2= 1+(-1)2 = 2

a3= 1+(-1)3 = 3

a4= 1+(-1)3 = 0

a3= 1+(-1)3 = 3

a4= 1+(-1)= 0

Da ist wohl etwas schief gelaufen. Prüfe ruhig mit dem Taschenrechner, wenn du es ohne nicht hin bekommst.

oh  und jetzt?

a3= 1+(-1)3 = 0

a4= 1+(-1)4 = 2

Ja. Wie vermutest du geht die Folge weiter ?

Und ist dann der Satz 

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn in jeder ε -Umgebung um den Grenzwert fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen.

erfüllt? Bzw. verstehst du überhaupt was die Aussage bedeutet?

Naja ich denke es geht immer weiter mit 0 und keine Ahnung. Aber die Null ist definitiv dabei.

Und wenn ich ehrlich bin, verstehe ich die Aussage nicht :(
Also zunächst solltest du dir weiterhin Gedanken machen wie die Folge weitergeht

a5 =

a6 =

a7 =

a8 =

a9 =
a(2n) =
a(2n - 1) =
Tipp:

2+n ist eine gerade Zahl wenn n eine natürliche Zahl ist

2*n - 1 ist eine ungerade Zahl wenn n eine natürliche Zahl ist


Jetzt überlegst du dir für die Folge wenn du den Grenzwert 0 vermutest. wie viele Werte im Intervall [0 - 1; 0 + 1] = [-1; 1] liegen und wie viele Werte Außerhalb dieses Intervalls liegen. Achtung. Außerhalb dürfen nur abzählbar viele Werte liegen. In dem Bereich müssen unendlich viele Werte liegen.

Und Achtung das muss für jedes beliebig kleine Intervall um den Grenzwert gelten.

Hab mir schon Gedanken gemacht :)

also wenn n gerade ist, dann kommt immer 2 raus und wenn n ungerade ist, dann kommt immer 0 raus.  

Also es geht immer so weiter: 

a1= 0

a2= 2

a3= 0

a4= 2 

a5=  0

a6= 2

a7= 0

a8= 2

könntest Du mir das mal vormachen? Jetzt überlegst du dir für die Folge wenn du den Grenzwert 0 vermutest. wie viele Werte im Intervall [0 - 1; 0 + 1] = [-1; 1] liegen und wie viele Werte Außerhalb dieses Intervalls liegen. Achtung. Außerhalb dürfen nur abzählbar viele Werte liegen. In dem Bereich müssen unendlich viele Werte liegen.

Und Achtung das muss für jedes beliebig kleine Intervall um den Grenzwert gelten.

 

:)

Mathecoach meint bestimmt: Außerhalb dürfen nur endlich viele Werte liegen.

N ist ja "abzählbar unendlich."

+1 Punkt
Hi Emre,


Hinweis: Unterscheide zwischen n gerade und n ungerade ;).


Grüße
von 134 k
Ah ich verstehe, wenn n gerade ist, also 2,4,6,8,10...dann kommt da immer 2 raus und wenn n ungerade ist, dann immmer 0 (aber wie bist du darauf gekommen? Du siehst..ich alleine wäre da nicht drauf gekommen :(

Und wenn ich die Aussage von Wikipedia noch verstehen würde, dann wäre es noch besser :(

die schreiben das immer so kompliziert :(
Nun, das solltest Du mit der Zeit sehen können. Ein negatives Vorzeichen kommt nur zum Tragen, wenn der Exponent ungerade ist ;).

Wir haben also mehr als einen Häufungspunkt (Begriff bekannt? Du hast ihn als Stichwort erwähnt) -> keine Konvergenz ;).
Ah ok :)

hä ich hab das nicht hingeschrieben Oo
Ahso, dennoch bekannt? ;)
Oh sorry hab dein Kommentar nicht gesehen :)

Und nein :(

Das einfach ausgedrückt bedeutet nicht viel mehr, dass Du für n->∞ nicht entscheiden kannst, wogegen Du "läufst". Also ob gegen 0 oder 2. Du hast damit nicht einen Grenzwert. Der ist aber bei Konvergenz Voraussetzung.

 

Bin nun im Bett :).

Hmmm verstehe.... danke:)

Gute Nacht :)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...