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Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für q ≠ 1 gilt

$$ \sum _ { k = 0 } ^ { n } q ^ { k } = \frac { q ^ { n + 1 } - 1 } { q - 1 } $$

für alle n ≥ 0.

Bitte um eine vollständige Lösung.

von

1 Antwort

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Induktionsanfang: Sei q≠1, n=0:

q0 = 1 = (q-1)/(q-1), ist erfüllt.

Induktionsschritt: Sei die Aussage nun für n erfüllt, das heißt es sei (für ein beliebiges q≠1)

1+q+q2+...+qn = (qn+1-1)/(q-1)

Zu zeigen ist dann:

1+q+q2+...+qn+qn+1= (qn+2-1)/(q-1)

Starten wir mal mit der linken Seite und setzen die InduktionsVoraussetzung ein:

1+q+q2+...+qn+qn+1 = (qn+1-1)/(q-1)+qn+1

Erweitere, um beide Summanden auf den gleichen Nenner zu bringen:

= (qn+1-1)/(q-1) + (qn+2-qn+1)/(q-1) = (qn+2-1)/(q-1)

was zu beweisen war.

Also gilt die Aussage für alle n≥0.

von 10 k

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