Vollständige Induktion? geometrische Reihe ∑ (von k=0 bis n) q^k=(1-q^{n+1})/(1-q)

Question

sei q∈R und q≠1

Beweisen Sie ∑ (von k=0 bis n) q^k=(1-q^{n+1})/(1-q)

a) Welchen Wert würden Sie deshalb der unendlichen Summe zuweisen?
1 + 1/4 +1/16 + (1/4)^3 + (1/4)^4  +.....

b) Leiten Sie aus der obigen Aussage für den Fall n≥0 einen Term für ∑ (von k=1 bis n) q^k in Form eines einzelnen Bruches ab.

Die vollständige Induktion habe ich gemacht, aber mit den Aufgabenteilen a und b, komme ich nicht zurecht und hoffe auf Hilfe!

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion: Summenformel für geometrische Reihen

Stichworte: induktion,vollständige,geometrische,reihe

ich bräuchte einmal Hilfe bei dem Rechenweg dieser Induktionsaufgabe

finde leider auch schwer was im internet dazu und meine Mathe Unterlagen helfen mir hierbei kaum weiter...

danke im voraus

Answer 1

Σ (k = 0 bis ∞) 0.25^k = (1 - q^{∞ + 1}) / (1 - q) = (1 - 0) / (1 - 0.25) = 4/3

Σ (k = 1 bis n) q^k = Σ (k = 0 bis n) q^k - 1 = (q^{n + 1} - 1)/(q - 1) - (q - 1)/(q - 1) = (q^{n + 1} - q)/(q - 1)

Answer 2

schau mal hier:

https://de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Geometrische_Summenformel

Answer 3

Induktionsanfang ist sicher klar.

Induktionsvoraussetzung lautet: Die zu beweisende Formel gilt für ein bestimmtes n.

Der Induktionsbeweis zegt dann,dass die Formel unter dieser Voaussetzung auch für n+1 gilt:

Wir addieren auf beiden Seiten der Voraussetzung den nächsten Summanden qⁿ⁺¹.Dann ist links alles klar und rechts entsteht (1-qⁿ⁺¹)/((q-1)+qⁿ⁺¹.

Nun ist nochzu zeigen, dass das Gleiche herauskommt, wenn man rechts n durch n+1(also n+1durch n+2) ersetzt.

(1-qⁿ⁺¹)/((q-1)+qⁿ⁺¹ auf den Hauptnenner bringen, Klammern auflösen und Potenzgesetze anwenden.