Alle Häufungspunkte, Limes superior und inferior bestimmen: an:=1+(1/2)^n für n=3k, an:=2+ (n+1)/n für n=3k+1,...

Question

habe folgende Aufgabe gegeben

a) Bestimmen Sie sämtliche Häufungspunkte, den Limes superior und den Limes inferior der Folge (a_n) mit

a_n=  1+(1/2)ⁿ  für n=3k

a_n=  2+ (n+1)/n  für n=3k+1

a_n=  2  für n=3k+2

b) Von der Folge (a_n) sei bekannt, dass die Teilfolgen (a_2n) , (a_2n+1) und (a_3n) konvergieren. Konvergieren dann auch (a_n) selbst?

 

Habe überjaupt keine Idee für die Lösung, kann mir bitte jemand helfen

Comments

Was ist denn das k bei der a)? Das ist nirgends erklärt.

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Vermutlich k Element N. Soll sich wohl um eine Definition von (an) mit 3 Teilfolgen handeln.

Answer 1

a) Bestimmen Sie sämtliche Häufungspunkte, den Limes superior und den Limes inferior der Folge (a_n) mit

a_n=  1+(1/2)ⁿ  für n=3k

a_n=  2+ (n+1)/n  für n=3k+1

a_n=  2  für n=3k+2

Gemäss meiner Annahme oben im Kommentar ergibt sich:

Häufungspunkte 1 und 3. Und vermutlich auch 2. Aber die Folgenglieder der 3. Teilfolge liegen ja nicht neben sondern auf 2. (Bitte Definition nochmals genau ansehen. Gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Häufungspunkt#Definition und verlinkte Umgebunsdefinition ist das ok).

lim inf(an) = 1

lim sup(an) = 3

Gemäss Skizze hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior

abgelesen.

 

b) Von der Folge (a_n) sei bekannt, dass die Teilfolgen (a_2n) , (a_2n+1) und (a_3n) konvergieren. Konvergieren dann auch (a_n) selbst?

Ja. Grund: Hier steht, dass die Teilfolge  Folgenglieder mit 1. geraden,  2. ungeraden und 3. durch 3 teilbaren Gliedern konvergieren.

Sagen wir  (a_2n) ---> a , (a_2n+1) ---> b und (a_3n) --> c

Mit 1. und 2. sind alle Folgenglieder in die Konvergenz eingebunden. Es gibt also keine Teilfolgen, die weder gegen a noch gegen b konvergieren.

Da 3. selbst konvergiert gegen c und  zwischen 1. und 2. pendelt, gilt c=a und c=b. 

Somit ist sichergestellt, dass alle 3 gegen den gleichen Wert a=b=c konvergieren.

Comments

vielen vielen Dank für deine Hilfe. Die a) hab ich nun verstanden. allerdings hab ich noch eine Frage zur b). Ist es nicht so, dass die Folge, um konvergent zu sein, auf einen eindeutigen Grenzwert tendieren muss? Hier springt die Folge aber zwischen den Werten hin und her, also müsste sie doch divergent sein oder? Weil du schreibst sie sei konvergent

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EDIT: Ich habe meine Argumentation etwas ausgebaut.

Der Witz ist, dass a=b=c sein muss. Daher konvergiert die Folge.